Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30478 / 20493
↖ ↑ ↗
← N 55.736389°
W 12.579346°		 ← 343.87 m → N 55.736389°
W 12.573853°		 →
↑
343.91 m
↓
↑
343.91 m
↓
N 55.733296°
W 12.579346°		 ← 343.90 m →
118 265 m²		 N 55.733296°
W 12.573853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30478 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20493 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465065002441406 y=0.312705993652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465065002441406 × 216)
    floor (0.465065002441406 × 65536)
    floor (30478.5)     		tx = 30478
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312705993652344 × 216)
    floor (0.312705993652344 × 65536)
    floor (20493.5)     		ty = 20493
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30478 / 20493 ti = "16/30478/20493"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30478/20493.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30478 ÷ 216
    30478 ÷ 65536     		x = 0.465057373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20493 ÷ 216
    20493 ÷ 65536     		y = 0.312698364257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465057373046875 × 2 - 1) × π
    -0.06988525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21955100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312698364257812 × 2 - 1) × π
    0.374603271484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.17685088567238
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21955100} λ = -0.21955100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17685088567238))-π/2
    2×atan(3.2441419262205)-π/2
    2×1.27178991542041-π/2
    2.54357983084083-1.57079632675     		φ = 0.97278350
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21955100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.579346°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97278350 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.736389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30478 KachelY 20493 -0.21955100 0.97278350 -12.579346 55.736389
    Oben rechts KachelX + 1 30479 KachelY 20493 -0.21945513 0.97278350 -12.573853 55.736389
    Unten links KachelX 30478 KachelY + 1 20494 -0.21955100 0.97272952 -12.579346 55.733296
    Unten rechts KachelX + 1 30479 KachelY + 1 20494 -0.21945513 0.97272952 -12.573853 55.733296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97278350-0.97272952) × R
    5.3980000000009e-05 × 6371000     		dl = 343.906580000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97278350-0.97272952) × R
    5.3980000000009e-05 × 6371000     		dr = 343.906580000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21955100--0.21945513) × cos(0.97278350) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.563001274809356 × 6371000     		do = 343.874293147956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21955100--0.21945513) × cos(0.97272952) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.563045886085424 × 6371000     		du = 343.901541169783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97278350)-sin(0.97272952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563001274809356-0.563045886085424)×R²
    abs(-0.21945513--0.21955100)×4.46112760678075e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.46112760678075e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.46112760678075e-05×40589641000000     		ar = 118265.317522068m²