Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30478 / 20241
↖ ↑ ↗
← N 56.507987°
W 12.579346°		 ← 337.05 m → N 56.507987°
W 12.573853°		 →
↑
337.09 m
↓
↑
337.09 m
↓
N 56.504955°
W 12.579346°		 ← 337.07 m →
113 619 m²		 N 56.504955°
W 12.573853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30478 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465065002441406 y=0.308860778808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465065002441406 × 216)
    floor (0.465065002441406 × 65536)
    floor (30478.5)     		tx = 30478
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308860778808594 × 216)
    floor (0.308860778808594 × 65536)
    floor (20241.5)     		ty = 20241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30478 / 20241 ti = "16/30478/20241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30478/20241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30478 ÷ 216
    30478 ÷ 65536     		x = 0.465057373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20241 ÷ 216
    20241 ÷ 65536     		y = 0.308853149414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465057373046875 × 2 - 1) × π
    -0.06988525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21955100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308853149414062 × 2 - 1) × π
    0.382293701171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.20101108308089
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21955100} λ = -0.21955100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20101108308089))-π/2
    2×atan(3.32347553441529)-π/2
    2×1.27852337142656-π/2
    2.55704674285312-1.57079632675     		φ = 0.98625042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21955100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.579346°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98625042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.507987°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30478 KachelY 20241 -0.21955100 0.98625042 -12.579346 56.507987
    Oben rechts KachelX + 1 30479 KachelY 20241 -0.21945513 0.98625042 -12.573853 56.507987
    Unten links KachelX 30478 KachelY + 1 20242 -0.21955100 0.98619751 -12.579346 56.504955
    Unten rechts KachelX + 1 30479 KachelY + 1 20242 -0.21945513 0.98619751 -12.573853 56.504955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98625042-0.98619751) × R
    5.29099999999616e-05 × 6371000     		dl = 337.089609999755m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98625042-0.98619751) × R
    5.29099999999616e-05 × 6371000     		dr = 337.089609999755m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21955100--0.21945513) × cos(0.98625042) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.551820742418093 × 6371000     		do = 337.045360701284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21955100--0.21945513) × cos(0.98619751) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.551864866614768 × 6371000     		du = 337.072311220974m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98625042)-sin(0.98619751))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551820742418093-0.551864866614768)×R²
    abs(-0.21945513--0.21955100)×4.41241966747663e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.41241966747663e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.41241966747663e-05×40589641000000     		ar = 113619.031587255m²