Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30478 / 16977
↖ ↑ ↗
← N 65.180724°
W 12.579346°		 ← 256.38 m → N 65.180724°
W 12.573853°		 →
↑
256.43 m
↓
↑
256.43 m
↓
N 65.178418°
W 12.579346°		 ← 256.41 m →
65 748 m²		 N 65.178418°
W 12.573853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30478 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16977 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465065002441406 y=0.259056091308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465065002441406 × 216)
    floor (0.465065002441406 × 65536)
    floor (30478.5)     		tx = 30478
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259056091308594 × 216)
    floor (0.259056091308594 × 65536)
    floor (16977.5)     		ty = 16977
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30478 / 16977 ti = "16/30478/16977"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30478/16977.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30478 ÷ 216
    30478 ÷ 65536     		x = 0.465057373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16977 ÷ 216
    16977 ÷ 65536     		y = 0.259048461914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465057373046875 × 2 - 1) × π
    -0.06988525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21955100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259048461914062 × 2 - 1) × π
    0.481903076171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.51394316380061
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21955100} λ = -0.21955100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51394316380061))-π/2
    2×atan(4.54461567364826)-π/2
    2×1.35420728799221-π/2
    2.70841457598443-1.57079632675     		φ = 1.13761825
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21955100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.579346°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13761825 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.180724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30478 KachelY 16977 -0.21955100 1.13761825 -12.579346 65.180724
    Oben rechts KachelX + 1 30479 KachelY 16977 -0.21945513 1.13761825 -12.573853 65.180724
    Unten links KachelX 30478 KachelY + 1 16978 -0.21955100 1.13757800 -12.579346 65.178418
    Unten rechts KachelX + 1 30479 KachelY + 1 16978 -0.21945513 1.13757800 -12.573853 65.178418
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13761825-1.13757800) × R
    4.02500000000749e-05 × 6371000     		dl = 256.432750000477m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13761825-1.13757800) × R
    4.02500000000749e-05 × 6371000     		dr = 256.432750000477m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21955100--0.21945513) × cos(1.13761825) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.419757455291122 × 6371000     		do = 256.382720058133m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21955100--0.21945513) × cos(1.13757800) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.419793987312739 × 6371000     		du = 256.405033370151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13761825)-sin(1.13757800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419757455291122-0.419793987312739)×R²
    abs(-0.21945513--0.21955100)×3.65320216172971e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.65320216172971e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.65320216172971e-05×40589641000000     		ar = 65747.7868981352m²