Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30477 / 20685
↖ ↑ ↗
← N 55.138070°
W 12.584839°		 ← 349.13 m → N 55.138070°
W 12.579346°		 →
↑
349.13 m
↓
↑
349.13 m
↓
N 55.134930°
W 12.584839°		 ← 349.15 m →
121 896 m²		 N 55.134930°
W 12.579346°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30477 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20685 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465049743652344 y=0.315635681152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465049743652344 × 216)
    floor (0.465049743652344 × 65536)
    floor (30477.5)     		tx = 30477
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.315635681152344 × 216)
    floor (0.315635681152344 × 65536)
    floor (20685.5)     		ty = 20685
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30477 / 20685 ti = "16/30477/20685"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30477/20685.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30477 ÷ 216
    30477 ÷ 65536     		x = 0.465042114257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20685 ÷ 216
    20685 ÷ 65536     		y = 0.315628051757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465042114257812 × 2 - 1) × π
    -0.069915771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21964687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.315628051757812 × 2 - 1) × π
    0.368743896484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.15844311621828
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21964687} λ = -0.21964687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15844311621828))-π/2
    2×atan(3.18497078474736)-π/2
    2×1.26656859460994-π/2
    2.53313718921987-1.57079632675     		φ = 0.96234086
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21964687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.584839°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96234086 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.138070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30477 KachelY 20685 -0.21964687 0.96234086 -12.584839 55.138070
    Oben rechts KachelX + 1 30478 KachelY 20685 -0.21955100 0.96234086 -12.579346 55.138070
    Unten links KachelX 30477 KachelY + 1 20686 -0.21964687 0.96228606 -12.584839 55.134930
    Unten rechts KachelX + 1 30478 KachelY + 1 20686 -0.21955100 0.96228606 -12.579346 55.134930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96234086-0.96228606) × R
    5.47999999999105e-05 × 6371000     		dl = 349.13079999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96234086-0.96228606) × R
    5.47999999999105e-05 × 6371000     		dr = 349.13079999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21964687--0.21955100) × cos(0.96234086) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.571600803712519 × 6371000     		do = 349.12678022977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21964687--0.21955100) × cos(0.96228606) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.571645767999751 × 6371000     		du = 349.154243866498m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96234086)-sin(0.96228606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.571600803712519-0.571645767999751)×R²
    abs(-0.21955100--0.21964687)×4.49642872319966e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.49642872319966e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.49642872319966e-05×40589641000000     		ar = 121895.706314143m²