Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30475 / 20253
↖ ↑ ↗
← N 56.471594°
W 12.595825°		 ← 337.37 m → N 56.471594°
W 12.590332°		 →
↑
337.41 m
↓
↑
337.41 m
↓
N 56.468560°
W 12.595825°		 ← 337.40 m →
113 836 m²		 N 56.468560°
W 12.590332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30475 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20253 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465019226074219 y=0.309043884277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465019226074219 × 216)
    floor (0.465019226074219 × 65536)
    floor (30475.5)     		tx = 30475
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309043884277344 × 216)
    floor (0.309043884277344 × 65536)
    floor (20253.5)     		ty = 20253
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30475 / 20253 ti = "16/30475/20253"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30475/20253.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30475 ÷ 216
    30475 ÷ 65536     		x = 0.465011596679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20253 ÷ 216
    20253 ÷ 65536     		y = 0.309036254882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465011596679688 × 2 - 1) × π
    -0.069976806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21983862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309036254882812 × 2 - 1) × π
    0.381927490234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.19986059749001
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21983862} λ = -0.21983862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19986059749001))-π/2
    2×atan(3.31965412236256)-π/2
    2×1.27820578820939-π/2
    2.55641157641877-1.57079632675     		φ = 0.98561525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21983862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.595825°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98561525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.471594°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30475 KachelY 20253 -0.21983862 0.98561525 -12.595825 56.471594
    Oben rechts KachelX + 1 30476 KachelY 20253 -0.21974275 0.98561525 -12.590332 56.471594
    Unten links KachelX 30475 KachelY + 1 20254 -0.21983862 0.98556229 -12.595825 56.468560
    Unten rechts KachelX + 1 30476 KachelY + 1 20254 -0.21974275 0.98556229 -12.590332 56.468560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98561525-0.98556229) × R
    5.29600000001018e-05 × 6371000     		dl = 337.408160000649m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98561525-0.98556229) × R
    5.29600000001018e-05 × 6371000     		dr = 337.408160000649m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21983862--0.21974275) × cos(0.98561525) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.552350339188802 × 6371000     		do = 337.368831931963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21983862--0.21974275) × cos(0.98556229) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.552394486510025 × 6371000     		du = 337.395796575843m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98561525)-sin(0.98556229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552350339188802-0.552394486510025)×R²
    abs(-0.21974275--0.21983862)×4.41473212220433e-05×R²
    9.58700000000257e-05×4.41473212220433e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×4.41473212220433e-05×40589641000000     		ar = 113835.545895956m²