Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30475 / 20189
↖ ↑ ↗
← N 56.665284°
W 12.595825°		 ← 335.65 m → N 56.665284°
W 12.590332°		 →
↑
335.69 m
↓
↑
335.69 m
↓
N 56.662265°
W 12.595825°		 ← 335.67 m →
112 677 m²		 N 56.662265°
W 12.590332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30475 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20189 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465019226074219 y=0.308067321777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465019226074219 × 216)
    floor (0.465019226074219 × 65536)
    floor (30475.5)     		tx = 30475
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308067321777344 × 216)
    floor (0.308067321777344 × 65536)
    floor (20189.5)     		ty = 20189
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30475 / 20189 ti = "16/30475/20189"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30475/20189.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30475 ÷ 216
    30475 ÷ 65536     		x = 0.465011596679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20189 ÷ 216
    20189 ÷ 65536     		y = 0.308059692382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465011596679688 × 2 - 1) × π
    -0.069976806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21983862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308059692382812 × 2 - 1) × π
    0.383880615234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.20599652064137
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21983862} λ = -0.21983862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20599652064137))-π/2
    2×atan(3.34008588470443)-π/2
    2×1.27989604808791-π/2
    2.55979209617582-1.57079632675     		φ = 0.98899577
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21983862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.595825°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98899577 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.665284°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30475 KachelY 20189 -0.21983862 0.98899577 -12.595825 56.665284
    Oben rechts KachelX + 1 30476 KachelY 20189 -0.21974275 0.98899577 -12.590332 56.665284
    Unten links KachelX 30475 KachelY + 1 20190 -0.21983862 0.98894308 -12.595825 56.662265
    Unten rechts KachelX + 1 30476 KachelY + 1 20190 -0.21974275 0.98894308 -12.590332 56.662265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98899577-0.98894308) × R
    5.26900000000774e-05 × 6371000     		dl = 335.687990000493m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98899577-0.98894308) × R
    5.26900000000774e-05 × 6371000     		dr = 335.687990000493m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21983862--0.21974275) × cos(0.98899577) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.54952914613819 × 6371000     		do = 335.645681719839m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21983862--0.21974275) × cos(0.98894308) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.549573166529204 × 6371000     		du = 335.672568836301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98899577)-sin(0.98894308))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.54952914613819-0.549573166529204)×R²
    abs(-0.21974275--0.21983862)×4.40203910138104e-05×R²
    9.58700000000257e-05×4.40203910138104e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×4.40203910138104e-05×40589641000000     		ar = 112676.737115904m²