Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30473 / 20255
↖ ↑ ↗
← N 56.465525°
W 12.606812°		 ← 337.42 m → N 56.465525°
W 12.601319°		 →
↑
337.47 m
↓
↑
337.47 m
↓
N 56.462490°
W 12.606812°		 ← 337.45 m →
113 875 m²		 N 56.462490°
W 12.601319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30473 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464988708496094 y=0.309074401855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464988708496094 × 216)
    floor (0.464988708496094 × 65536)
    floor (30473.5)     		tx = 30473
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309074401855469 × 216)
    floor (0.309074401855469 × 65536)
    floor (20255.5)     		ty = 20255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30473 / 20255 ti = "16/30473/20255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30473/20255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30473 ÷ 216
    30473 ÷ 65536     		x = 0.464981079101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20255 ÷ 216
    20255 ÷ 65536     		y = 0.309066772460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464981079101562 × 2 - 1) × π
    -0.070037841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22003037
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309066772460938 × 2 - 1) × π
    0.381866455078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.19966884989153
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22003037} λ = -0.22003037}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19966884989153))-π/2
    2×atan(3.31901764768001)-π/2
    2×1.27815282805138-π/2
    2.55630565610276-1.57079632675     		φ = 0.98550933
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22003037} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.606812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98550933 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.465525°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30473 KachelY 20255 -0.22003037 0.98550933 -12.606812 56.465525
    Oben rechts KachelX + 1 30474 KachelY 20255 -0.21993450 0.98550933 -12.601319 56.465525
    Unten links KachelX 30473 KachelY + 1 20256 -0.22003037 0.98545636 -12.606812 56.462490
    Unten rechts KachelX + 1 30474 KachelY + 1 20256 -0.21993450 0.98545636 -12.601319 56.462490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98550933-0.98545636) × R
    5.296999999993e-05 × 6371000     		dl = 337.471869999554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98550933-0.98545636) × R
    5.296999999993e-05 × 6371000     		dr = 337.471869999554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22003037--0.21993450) × cos(0.98550933) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.552438632281912 × 6371000     		do = 337.422760273311m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22003037--0.21993450) × cos(0.98545636) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.552482784839583 × 6371000     		du = 337.449728115552m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98550933)-sin(0.98545636))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552438632281912-0.552482784839583)×R²
    abs(-0.21993450--0.22003037)×4.41525576716506e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.41525576716506e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.41525576716506e-05×40589641000000     		ar = 113875.24036047m²