Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30472 / 20184
↖ ↑ ↗
← N 56.680374°
W 12.612305°		 ← 335.51 m → N 56.680374°
W 12.606812°		 →
↑
335.50 m
↓
↑
335.50 m
↓
N 56.677356°
W 12.612305°		 ← 335.54 m →
112 567 m²		 N 56.677356°
W 12.606812°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20184 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464973449707031 y=0.307991027832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464973449707031 × 216)
    floor (0.464973449707031 × 65536)
    floor (30472.5)     		tx = 30472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307991027832031 × 216)
    floor (0.307991027832031 × 65536)
    floor (20184.5)     		ty = 20184
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30472 / 20184 ti = "16/30472/20184"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30472/20184.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30472 ÷ 216
    30472 ÷ 65536     		x = 0.4649658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20184 ÷ 216
    20184 ÷ 65536     		y = 0.3079833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4649658203125 × 2 - 1) × π
    -0.070068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22012624
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3079833984375 × 2 - 1) × π
    0.384033203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.20647588963757
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22012624} λ = -0.22012624}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20647588963757))-π/2
    2×atan(3.34168740215044)-π/2
    2×1.28002773533192-π/2
    2.56005547066385-1.57079632675     		φ = 0.98925914
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22012624} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.612305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98925914 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.680374°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30472 KachelY 20184 -0.22012624 0.98925914 -12.612305 56.680374
    Oben rechts KachelX + 1 30473 KachelY 20184 -0.22003037 0.98925914 -12.606812 56.680374
    Unten links KachelX 30472 KachelY + 1 20185 -0.22012624 0.98920648 -12.612305 56.677356
    Unten rechts KachelX + 1 30473 KachelY + 1 20185 -0.22003037 0.98920648 -12.606812 56.677356
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98925914-0.98920648) × R
    5.26600000000377e-05 × 6371000     		dl = 335.49686000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98925914-0.98920648) × R
    5.26600000000377e-05 × 6371000     		dr = 335.49686000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22012624--0.22003037) × cos(0.98925914) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.549309088150767 × 6371000     		do = 335.511272992333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22012624--0.22003037) × cos(0.98920648) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.549353091098647 × 6371000     		du = 335.538149454742m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98925914)-sin(0.98920648))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.549309088150767-0.549353091098647)×R²
    abs(-0.22003037--0.22012624)×4.40029478799842e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.40029478799842e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.40029478799842e-05×40589641000000     		ar = 112567.487094109m²