Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 30468 / 21252
↖ ↑ ↗
← N 76.349304°
W 96.317139°		 ← 72.08 m → N 76.349304°
W 96.314392°		 →
↑
72.06 m
↓
↑
72.06 m
↓
N 76.348656°
W 96.317139°		 ← 72.08 m →
5 194 m²		 N 76.348656°
W 96.314392°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21252 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.232456207275391 y=0.162143707275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.232456207275391 × 217)
    floor (0.232456207275391 × 131072)
    floor (30468.5)     		tx = 30468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162143707275391 × 217)
    floor (0.162143707275391 × 131072)
    floor (21252.5)     		ty = 21252
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 30468 / 21252 ti = "17/30468/21252"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/30468/21252.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30468 ÷ 217
    30468 ÷ 131072     		x = 0.232452392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21252 ÷ 217
    21252 ÷ 131072     		y = 0.162139892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.232452392578125 × 2 - 1) × π
    -0.53509521484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.68105120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.162139892578125 × 2 - 1) × π
    0.67572021484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.12283766277457
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.68105120} λ = -1.68105120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12283766277457))-π/2
    2×atan(8.35481202069055)-π/2
    2×1.45167153051974-π/2
    2.90334306103949-1.57079632675     		φ = 1.33254673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.68105120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -96.317139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33254673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.349304°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30468 KachelY 21252 -1.68105120 1.33254673 -96.317139 76.349304
    Oben rechts KachelX + 1 30469 KachelY 21252 -1.68100326 1.33254673 -96.314392 76.349304
    Unten links KachelX 30468 KachelY + 1 21253 -1.68105120 1.33253542 -96.317139 76.348656
    Unten rechts KachelX + 1 30469 KachelY + 1 21253 -1.68100326 1.33253542 -96.314392 76.348656
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33254673-1.33253542) × R
    1.13100000000976e-05 × 6371000     		dl = 72.056010000622m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33254673-1.33253542) × R
    1.13100000000976e-05 × 6371000     		dr = 72.056010000622m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.68105120--1.68100326) × cos(1.33254673) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.236002030041144 × 6371000     		do = 72.0810946667713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.68105120--1.68100326) × cos(1.33253542) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.236013020547526 × 6371000     		du = 72.0844514503161m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33254673)-sin(1.33253542))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.236002030041144-0.236013020547526)×R²
    abs(-1.68100326--1.68105120)×1.09905063822302e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.09905063822302e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.09905063822302e-05×40589641000000     		ar = 5193.99701650025m²