Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30468 / 17045
↖ ↑ ↗
← N 65.023466°
W 12.634277°		 ← 257.93 m → N 65.023466°
W 12.628784°		 →
↑
257.96 m
↓
↑
257.96 m
↓
N 65.021146°
W 12.634277°		 ← 257.95 m →
66 539 m²		 N 65.021146°
W 12.628784°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17045 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464912414550781 y=0.260093688964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464912414550781 × 216)
    floor (0.464912414550781 × 65536)
    floor (30468.5)     		tx = 30468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260093688964844 × 216)
    floor (0.260093688964844 × 65536)
    floor (17045.5)     		ty = 17045
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30468 / 17045 ti = "16/30468/17045"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30468/17045.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30468 ÷ 216
    30468 ÷ 65536     		x = 0.46490478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17045 ÷ 216
    17045 ÷ 65536     		y = 0.260086059570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46490478515625 × 2 - 1) × π
    -0.0701904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22050974
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260086059570312 × 2 - 1) × π
    0.479827880859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.50742374545229
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22050974} λ = -0.22050974}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50742374545229))-π/2
    2×atan(4.5150837927813)-π/2
    2×1.35283494622947-π/2
    2.70566989245893-1.57079632675     		φ = 1.13487357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22050974} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.634277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13487357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.023466°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30468 KachelY 17045 -0.22050974 1.13487357 -12.634277 65.023466
    Oben rechts KachelX + 1 30469 KachelY 17045 -0.22041386 1.13487357 -12.628784 65.023466
    Unten links KachelX 30468 KachelY + 1 17046 -0.22050974 1.13483308 -12.634277 65.021146
    Unten rechts KachelX + 1 30469 KachelY + 1 17046 -0.22041386 1.13483308 -12.628784 65.021146
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13487357-1.13483308) × R
    4.04900000001707e-05 × 6371000     		dl = 257.961790001087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13487357-1.13483308) × R
    4.04900000001707e-05 × 6371000     		dr = 257.961790001087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22050974--0.22041386) × cos(1.13487357) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.422247042330239 × 6371000     		do = 257.930230733104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22050974--0.22041386) × cos(1.13483308) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.422283745391573 × 6371000     		du = 257.95265085244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13487357)-sin(1.13483308))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422247042330239-0.422283745391573)×R²
    abs(-0.22041386--0.22050974)×3.67030613343533e-05×R²
    9.58800000000204e-05×3.67030613343533e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×3.67030613343533e-05×40589641000000     		ar = 66539.0357918002m²