Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30465 / 16247
↖ ↑ ↗
← N 66.811384°
W 12.650757°		 ← 240.50 m → N 66.811384°
W 12.645264°		 →
↑
240.51 m
↓
↑
240.51 m
↓
N 66.809221°
W 12.650757°		 ← 240.52 m →
57 845 m²		 N 66.809221°
W 12.645264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30465 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16247 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464866638183594 y=0.247917175292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464866638183594 × 216)
    floor (0.464866638183594 × 65536)
    floor (30465.5)     		tx = 30465
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.247917175292969 × 216)
    floor (0.247917175292969 × 65536)
    floor (16247.5)     		ty = 16247
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30465 / 16247 ti = "16/30465/16247"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30465/16247.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30465 ÷ 216
    30465 ÷ 65536     		x = 0.464859008789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16247 ÷ 216
    16247 ÷ 65536     		y = 0.247909545898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464859008789062 × 2 - 1) × π
    -0.070281982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22079736
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.247909545898438 × 2 - 1) × π
    0.504180908203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.5839310372459
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22079736} λ = -0.22079736}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5839310372459))-π/2
    2×atan(4.87407838450729)-π/2
    2×1.36843747816803-π/2
    2.73687495633607-1.57079632675     		φ = 1.16607863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22079736} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.650757°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16607863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.811384°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30465 KachelY 16247 -0.22079736 1.16607863 -12.650757 66.811384
    Oben rechts KachelX + 1 30466 KachelY 16247 -0.22070149 1.16607863 -12.645264 66.811384
    Unten links KachelX 30465 KachelY + 1 16248 -0.22079736 1.16604088 -12.650757 66.809221
    Unten rechts KachelX + 1 30466 KachelY + 1 16248 -0.22070149 1.16604088 -12.645264 66.809221
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16607863-1.16604088) × R
    3.77499999999475e-05 × 6371000     		dl = 240.505249999666m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16607863-1.16604088) × R
    3.77499999999475e-05 × 6371000     		dr = 240.505249999666m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22079736--0.22070149) × cos(1.16607863) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.393759279121007 × 6371000     		do = 240.503352011122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22079736--0.22070149) × cos(1.16604088) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.39379397915358 × 6371000     		du = 240.524546366636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16607863)-sin(1.16604088))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393759279121007-0.39379397915358)×R²
    abs(-0.22070149--0.22079736)×3.4700032572943e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.4700032572943e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.4700032572943e-05×40589641000000     		ar = 57844.8674851275m²