Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30463 / 16641
↖ ↑ ↗
← N 65.944233°
W 12.661743°		 ← 249 m → N 65.944233°
W 12.656250°		 →
↑
248.98 m
↓
↑
248.98 m
↓
N 65.941993°
W 12.661743°		 ← 249.02 m →
61 998 m²		 N 65.941993°
W 12.656250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30463 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464836120605469 y=0.253929138183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464836120605469 × 216)
    floor (0.464836120605469 × 65536)
    floor (30463.5)     		tx = 30463
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.253929138183594 × 216)
    floor (0.253929138183594 × 65536)
    floor (16641.5)     		ty = 16641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30463 / 16641 ti = "16/30463/16641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30463/16641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30463 ÷ 216
    30463 ÷ 65536     		x = 0.464828491210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16641 ÷ 216
    16641 ÷ 65536     		y = 0.253921508789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464828491210938 × 2 - 1) × π
    -0.070343017578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22098911
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.253921508789062 × 2 - 1) × π
    0.492156982421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.54615676034529
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22098911} λ = -0.22098911}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.54615676034529))-π/2
    2×atan(4.69339762438425)-π/2
    2×1.36087015521884-π/2
    2.72174031043768-1.57079632675     		φ = 1.15094398
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22098911} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.661743°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15094398 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.944233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30463 KachelY 16641 -0.22098911 1.15094398 -12.661743 65.944233
    Oben rechts KachelX + 1 30464 KachelY 16641 -0.22089323 1.15094398 -12.656250 65.944233
    Unten links KachelX 30463 KachelY + 1 16642 -0.22098911 1.15090490 -12.661743 65.941993
    Unten rechts KachelX + 1 30464 KachelY + 1 16642 -0.22089323 1.15090490 -12.656250 65.941993
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15094398-1.15090490) × R
    3.90800000000802e-05 × 6371000     		dl = 248.978680000511m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15094398-1.15090490) × R
    3.90800000000802e-05 × 6371000     		dr = 248.978680000511m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22098911--0.22089323) × cos(1.15094398) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.40762562810659 × 6371000     		do = 248.998718214821m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22098911--0.22089323) × cos(1.15090490) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.407661313663602 × 6371000     		du = 249.020516790136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15094398)-sin(1.15090490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.40762562810659-0.407661313663602)×R²
    abs(-0.22089323--0.22098911)×3.56855570119996e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.56855570119996e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.56855570119996e-05×40589641000000     		ar = 61998.0858810796m²