Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30463 / 16248
↖ ↑ ↗
← N 66.809221°
W 12.661743°		 ← 240.55 m → N 66.809221°
W 12.656250°		 →
↑
240.57 m
↓
↑
240.57 m
↓
N 66.807058°
W 12.661743°		 ← 240.57 m →
57 871 m²		 N 66.807058°
W 12.656250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30463 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464836120605469 y=0.247932434082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464836120605469 × 216)
    floor (0.464836120605469 × 65536)
    floor (30463.5)     		tx = 30463
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.247932434082031 × 216)
    floor (0.247932434082031 × 65536)
    floor (16248.5)     		ty = 16248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30463 / 16248 ti = "16/30463/16248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30463/16248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30463 ÷ 216
    30463 ÷ 65536     		x = 0.464828491210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16248 ÷ 216
    16248 ÷ 65536     		y = 0.2479248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464828491210938 × 2 - 1) × π
    -0.070343017578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22098911
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2479248046875 × 2 - 1) × π
    0.504150390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.58383516344666
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22098911} λ = -0.22098911}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58383516344666))-π/2
    2×atan(4.8736111104948)-π/2
    2×1.36841860173722-π/2
    2.73683720347443-1.57079632675     		φ = 1.16604088
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22098911} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.661743°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16604088 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.809221°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30463 KachelY 16248 -0.22098911 1.16604088 -12.661743 66.809221
    Oben rechts KachelX + 1 30464 KachelY 16248 -0.22089323 1.16604088 -12.656250 66.809221
    Unten links KachelX 30463 KachelY + 1 16249 -0.22098911 1.16600312 -12.661743 66.807058
    Unten rechts KachelX + 1 30464 KachelY + 1 16249 -0.22089323 1.16600312 -12.656250 66.807058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16604088-1.16600312) × R
    3.77599999998868e-05 × 6371000     		dl = 240.568959999279m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16604088-1.16600312) × R
    3.77599999998868e-05 × 6371000     		dr = 240.568959999279m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22098911--0.22089323) × cos(1.16604088) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.39379397915358 × 6371000     		do = 240.549634981035m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22098911--0.22089323) × cos(1.16600312) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.39382868781681 × 6371000     		du = 240.570836819338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16604088)-sin(1.16600312))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39379397915358-0.39382868781681)×R²
    abs(-0.22089323--0.22098911)×3.4708663230465e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.4708663230465e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.4708663230465e-05×40589641000000     		ar = 57871.3257742446m²