Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30462 / 20115
↖ ↑ ↗
← N 56.888003°
W 12.667236°		 ← 333.66 m → N 56.888003°
W 12.661743°		 →
↑
333.65 m
↓
↑
333.65 m
↓
N 56.885002°
W 12.667236°		 ← 333.69 m →
111 330 m²		 N 56.885002°
W 12.661743°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30462 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464820861816406 y=0.306938171386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464820861816406 × 216)
    floor (0.464820861816406 × 65536)
    floor (30462.5)     		tx = 30462
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306938171386719 × 216)
    floor (0.306938171386719 × 65536)
    floor (20115.5)     		ty = 20115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30462 / 20115 ti = "16/30462/20115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30462/20115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30462 ÷ 216
    30462 ÷ 65536     		x = 0.464813232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20115 ÷ 216
    20115 ÷ 65536     		y = 0.306930541992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464813232421875 × 2 - 1) × π
    -0.07037353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22108498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306930541992188 × 2 - 1) × π
    0.386138916015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.21309118178514
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22108498} λ = -0.22108498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21309118178514))-π/2
    2×atan(3.36386692169714)-π/2
    2×1.28183963879463-π/2
    2.56367927758927-1.57079632675     		φ = 0.99288295
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22108498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.667236°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99288295 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.888003°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30462 KachelY 20115 -0.22108498 0.99288295 -12.667236 56.888003
    Oben rechts KachelX + 1 30463 KachelY 20115 -0.22098911 0.99288295 -12.661743 56.888003
    Unten links KachelX 30462 KachelY + 1 20116 -0.22108498 0.99283058 -12.667236 56.885002
    Unten rechts KachelX + 1 30463 KachelY + 1 20116 -0.22098911 0.99283058 -12.661743 56.885002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99288295-0.99283058) × R
    5.23700000000238e-05 × 6371000     		dl = 333.649270000152m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99288295-0.99283058) × R
    5.23700000000238e-05 × 6371000     		dr = 333.649270000152m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22108498--0.22098911) × cos(0.99288295) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.546277362636232 × 6371000     		do = 333.659532126058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22108498--0.22098911) × cos(0.99283058) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.546321227226779 × 6371000     		du = 333.6863240815m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99288295)-sin(0.99283058))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.546277362636232-0.546321227226779)×R²
    abs(-0.22098911--0.22108498)×4.38645905475044e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.38645905475044e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.38645905475044e-05×40589641000000     		ar = 111329.728906174m²