Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30461 / 17053
↖ ↑ ↗
← N 65.004903°
W 12.672729°		 ← 258.08 m → N 65.004903°
W 12.667236°		 →
↑
258.09 m
↓
↑
258.09 m
↓
N 65.002582°
W 12.672729°		 ← 258.11 m →
66 611 m²		 N 65.002582°
W 12.667236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30461 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17053 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464805603027344 y=0.260215759277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464805603027344 × 216)
    floor (0.464805603027344 × 65536)
    floor (30461.5)     		tx = 30461
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260215759277344 × 216)
    floor (0.260215759277344 × 65536)
    floor (17053.5)     		ty = 17053
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30461 / 17053 ti = "16/30461/17053"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30461/17053.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30461 ÷ 216
    30461 ÷ 65536     		x = 0.464797973632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17053 ÷ 216
    17053 ÷ 65536     		y = 0.260208129882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464797973632812 × 2 - 1) × π
    -0.070404052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22118085
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260208129882812 × 2 - 1) × π
    0.479583740234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.50665675505836
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22118085} λ = -0.22118085}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50665675505836))-π/2
    2×atan(4.51162209459882)-π/2
    2×1.35267296021329-π/2
    2.70534592042657-1.57079632675     		φ = 1.13454959
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22118085} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.672729°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13454959 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.004903°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30461 KachelY 17053 -0.22118085 1.13454959 -12.672729 65.004903
    Oben rechts KachelX + 1 30462 KachelY 17053 -0.22108498 1.13454959 -12.667236 65.004903
    Unten links KachelX 30461 KachelY + 1 17054 -0.22118085 1.13450908 -12.672729 65.002582
    Unten rechts KachelX + 1 30462 KachelY + 1 17054 -0.22108498 1.13450908 -12.667236 65.002582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13454959-1.13450908) × R
    4.05100000000491e-05 × 6371000     		dl = 258.089210000313m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13454959-1.13450908) × R
    4.05100000000491e-05 × 6371000     		dr = 258.089210000313m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22118085--0.22108498) × cos(1.13454959) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.422540701813531 × 6371000     		do = 258.082692994991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22118085--0.22108498) × cos(1.13450908) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.42257741746022 × 6371000     		du = 258.105118462956m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13454959)-sin(1.13450908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422540701813531-0.42257741746022)×R²
    abs(-0.22108498--0.22118085)×3.67156466884455e-05×R²
    9.58700000000257e-05×3.67156466884455e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×3.67156466884455e-05×40589641000000     		ar = 66611.2522445616m²