Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30460 / 16251
↖ ↑ ↗
← N 66.802731°
W 12.678223°		 ← 240.61 m → N 66.802731°
W 12.672729°		 →
↑
240.63 m
↓
↑
240.63 m
↓
N 66.800567°
W 12.678223°		 ← 240.63 m →
57 902 m²		 N 66.800567°
W 12.672729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30460 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16251 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464790344238281 y=0.247978210449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464790344238281 × 216)
    floor (0.464790344238281 × 65536)
    floor (30460.5)     		tx = 30460
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.247978210449219 × 216)
    floor (0.247978210449219 × 65536)
    floor (16251.5)     		ty = 16251
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30460 / 16251 ti = "16/30460/16251"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30460/16251.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30460 ÷ 216
    30460 ÷ 65536     		x = 0.46478271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16251 ÷ 216
    16251 ÷ 65536     		y = 0.247970581054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46478271484375 × 2 - 1) × π
    -0.0704345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22127673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.247970581054688 × 2 - 1) × π
    0.504058837890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.58354754204893
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22127673} λ = -0.22127673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58354754204893))-π/2
    2×atan(4.87220955722327)-π/2
    2×1.3683619624627-π/2
    2.7367239249254-1.57079632675     		φ = 1.16592760
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22127673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.678223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16592760 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.802731°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30460 KachelY 16251 -0.22127673 1.16592760 -12.678223 66.802731
    Oben rechts KachelX + 1 30461 KachelY 16251 -0.22118085 1.16592760 -12.672729 66.802731
    Unten links KachelX 30460 KachelY + 1 16252 -0.22127673 1.16588983 -12.678223 66.800567
    Unten rechts KachelX + 1 30461 KachelY + 1 16252 -0.22118085 1.16588983 -12.672729 66.800567
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16592760-1.16588983) × R
    3.7770000000048e-05 × 6371000     		dl = 240.632670000306m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16592760-1.16588983) × R
    3.7770000000048e-05 × 6371000     		dr = 240.632670000306m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22127673--0.22118085) × cos(1.16592760) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.393898103458638 × 6371000     		do = 240.613239466884m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22127673--0.22118085) × cos(1.16588983) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.393932819628529 × 6371000     		du = 240.634445890642m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16592760)-sin(1.16588983))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393898103458638-0.393932819628529)×R²
    abs(-0.22118085--0.22127673)×3.47161698909249e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.47161698909249e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.47161698909249e-05×40589641000000     		ar = 57901.9577365013m²