Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30458 / 20186
↖ ↑ ↗
← N 56.674339°
W 12.689209°		 ← 335.60 m → N 56.674339°
W 12.683716°		 →
↑
335.62 m
↓
↑
335.62 m
↓
N 56.671320°
W 12.689209°		 ← 335.63 m →
112 640 m²		 N 56.671320°
W 12.683716°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30458 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20186 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464759826660156 y=0.308021545410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464759826660156 × 216)
    floor (0.464759826660156 × 65536)
    floor (30458.5)     		tx = 30458
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308021545410156 × 216)
    floor (0.308021545410156 × 65536)
    floor (20186.5)     		ty = 20186
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30458 / 20186 ti = "16/30458/20186"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30458/20186.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30458 ÷ 216
    30458 ÷ 65536     		x = 0.464752197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20186 ÷ 216
    20186 ÷ 65536     		y = 0.308013916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464752197265625 × 2 - 1) × π
    -0.07049560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22146848
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308013916015625 × 2 - 1) × π
    0.38397216796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.20628414203909
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22146848} λ = -0.22146848}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20628414203909))-π/2
    2×atan(3.34104670304443)-π/2
    2×1.27997506676372-π/2
    2.55995013352743-1.57079632675     		φ = 0.98915381
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22146848} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.689209°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98915381 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.674339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30458 KachelY 20186 -0.22146848 0.98915381 -12.689209 56.674339
    Oben rechts KachelX + 1 30459 KachelY 20186 -0.22137260 0.98915381 -12.683716 56.674339
    Unten links KachelX 30458 KachelY + 1 20187 -0.22146848 0.98910113 -12.689209 56.671320
    Unten rechts KachelX + 1 30459 KachelY + 1 20187 -0.22137260 0.98910113 -12.683716 56.671320
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98915381-0.98910113) × R
    5.26800000000271e-05 × 6371000     		dl = 335.624280000173m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98915381-0.98910113) × R
    5.26800000000271e-05 × 6371000     		dr = 335.624280000173m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22146848--0.22137260) × cos(0.98915381) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.549397100878744 × 6371000     		do = 335.600032179464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22146848--0.22137260) × cos(0.98910113) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.549441117490066 × 6371000     		du = 335.626919791635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98915381)-sin(0.98910113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.549397100878744-0.549441117490066)×R²
    abs(-0.22137260--0.22146848)×4.40166113222507e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.40166113222507e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.40166113222507e-05×40589641000000     		ar = 112640.031262036m²