Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30457 / 20265
↖ ↑ ↗
← N 56.435167°
W 12.694702°		 ← 337.69 m → N 56.435167°
W 12.689209°		 →
↑
337.73 m
↓
↑
337.73 m
↓
N 56.432129°
W 12.694702°		 ← 337.72 m →
114 052 m²		 N 56.432129°
W 12.689209°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30457 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20265 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464744567871094 y=0.309226989746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464744567871094 × 216)
    floor (0.464744567871094 × 65536)
    floor (30457.5)     		tx = 30457
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309226989746094 × 216)
    floor (0.309226989746094 × 65536)
    floor (20265.5)     		ty = 20265
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30457 / 20265 ti = "16/30457/20265"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30457/20265.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30457 ÷ 216
    30457 ÷ 65536     		x = 0.464736938476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20265 ÷ 216
    20265 ÷ 65536     		y = 0.309219360351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464736938476562 × 2 - 1) × π
    -0.070526123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22156435
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309219360351562 × 2 - 1) × π
    0.381561279296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.19871011189912
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22156435} λ = -0.22156435}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19871011189912))-π/2
    2×atan(3.31583710426126)-π/2
    2×1.2778879002652-π/2
    2.55577580053039-1.57079632675     		φ = 0.98497947
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22156435} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.694702°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98497947 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.435167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30457 KachelY 20265 -0.22156435 0.98497947 -12.694702 56.435167
    Oben rechts KachelX + 1 30458 KachelY 20265 -0.22146848 0.98497947 -12.689209 56.435167
    Unten links KachelX 30457 KachelY + 1 20266 -0.22156435 0.98492646 -12.694702 56.432129
    Unten rechts KachelX + 1 30458 KachelY + 1 20266 -0.22146848 0.98492646 -12.689209 56.432129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98497947-0.98492646) × R
    5.301000000002e-05 × 6371000     		dl = 337.726710000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98497947-0.98492646) × R
    5.301000000002e-05 × 6371000     		dr = 337.726710000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22156435--0.22146848) × cos(0.98497947) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.55288022140794 × 6371000     		do = 337.692477510855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22156435--0.22146848) × cos(0.98492646) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.552924391782932 × 6371000     		du = 337.719456235696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98497947)-sin(0.98492646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55288022140794-0.552924391782932)×R²
    abs(-0.22146848--0.22156435)×4.41703749918254e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.41703749918254e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.41703749918254e-05×40589641000000     		ar = 114052.325165954m²