Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30451 / 20407
↖ ↑ ↗
← N 56.001453°
W 12.727661°		 ← 341.54 m → N 56.001453°
W 12.722168°		 →
↑
341.61 m
↓
↑
341.61 m
↓
N 55.998381°
W 12.727661°		 ← 341.56 m →
116 678 m²		 N 55.998381°
W 12.722168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30451 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20407 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464653015136719 y=0.311393737792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464653015136719 × 216)
    floor (0.464653015136719 × 65536)
    floor (30451.5)     		tx = 30451
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311393737792969 × 216)
    floor (0.311393737792969 × 65536)
    floor (20407.5)     		ty = 20407
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30451 / 20407 ti = "16/30451/20407"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30451/20407.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30451 ÷ 216
    30451 ÷ 65536     		x = 0.464645385742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20407 ÷ 216
    20407 ÷ 65536     		y = 0.311386108398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464645385742188 × 2 - 1) × π
    -0.070709228515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22213959
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311386108398438 × 2 - 1) × π
    0.377227783203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.18509603240703
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22213959} λ = -0.22213959}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18509603240703))-π/2
    2×atan(3.27100092847604)-π/2
    2×1.27410303114829-π/2
    2.54820606229658-1.57079632675     		φ = 0.97740974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22213959} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.727661°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97740974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.001453°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30451 KachelY 20407 -0.22213959 0.97740974 -12.727661 56.001453
    Oben rechts KachelX + 1 30452 KachelY 20407 -0.22204372 0.97740974 -12.722168 56.001453
    Unten links KachelX 30451 KachelY + 1 20408 -0.22213959 0.97735612 -12.727661 55.998381
    Unten rechts KachelX + 1 30452 KachelY + 1 20408 -0.22204372 0.97735612 -12.722168 55.998381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97740974-0.97735612) × R
    5.36199999999765e-05 × 6371000     		dl = 341.61301999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97740974-0.97735612) × R
    5.36199999999765e-05 × 6371000     		dr = 341.61301999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22213959--0.22204372) × cos(0.97740974) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.559171879823998 × 6371000     		do = 341.5353455244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22213959--0.22204372) × cos(0.97735612) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.559216332775123 × 6371000     		du = 341.562496843287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97740974)-sin(0.97735612))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.559171879823998-0.559216332775123)×R²
    abs(-0.22204372--0.22213959)×4.44529511248737e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.44529511248737e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.44529511248737e-05×40589641000000     		ar = 116677.558471152m²