Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30450 / 16898
↖ ↑ ↗
← N 65.362258°
W 12.733154°		 ← 254.65 m → N 65.362258°
W 12.727661°		 →
↑
254.65 m
↓
↑
254.65 m
↓
N 65.359967°
W 12.733154°		 ← 254.67 m →
64 850 m²		 N 65.359967°
W 12.727661°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30450 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16898 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464637756347656 y=0.257850646972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464637756347656 × 216)
    floor (0.464637756347656 × 65536)
    floor (30450.5)     		tx = 30450
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257850646972656 × 216)
    floor (0.257850646972656 × 65536)
    floor (16898.5)     		ty = 16898
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30450 / 16898 ti = "16/30450/16898"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30450/16898.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30450 ÷ 216
    30450 ÷ 65536     		x = 0.464630126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16898 ÷ 216
    16898 ÷ 65536     		y = 0.257843017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464630126953125 × 2 - 1) × π
    -0.07073974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22223547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.257843017578125 × 2 - 1) × π
    0.48431396484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.52151719394058
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22223547} λ = -0.22223547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52151719394058))-π/2
    2×atan(4.5791674125166)-π/2
    2×1.35579146172773-π/2
    2.71158292345546-1.57079632675     		φ = 1.14078660
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22223547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.733154°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14078660 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.362258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30450 KachelY 16898 -0.22223547 1.14078660 -12.733154 65.362258
    Oben rechts KachelX + 1 30451 KachelY 16898 -0.22213959 1.14078660 -12.727661 65.362258
    Unten links KachelX 30450 KachelY + 1 16899 -0.22223547 1.14074663 -12.733154 65.359967
    Unten rechts KachelX + 1 30451 KachelY + 1 16899 -0.22213959 1.14074663 -12.727661 65.359967
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14078660-1.14074663) × R
    3.99700000000003e-05 × 6371000     		dl = 254.648870000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14078660-1.14074663) × R
    3.99700000000003e-05 × 6371000     		dr = 254.648870000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22223547--0.22213959) × cos(1.14078660) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.416879643732906 × 6371000     		do = 254.651547356099m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22223547--0.22213959) × cos(1.14074663) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.416915974598834 × 6371000     		du = 254.673740119321m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14078660)-sin(1.14074663))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416879643732906-0.416915974598834)×R²
    abs(-0.22213959--0.22223547)×3.63308659284689e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.63308659284689e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.63308659284689e-05×40589641000000     		ar = 64849.5544677488m²