Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3045 / 5071
↖ ↑ ↗
← S 39.334297°
W 46.186523°		 ← 3 779.51 m → S 39.334297°
W 46.142578°		 →
↑
3 778.58 m
↓
↑
3 778.58 m
↓
S 39.368279°
W 46.186523°		 ← 3 777.67 m →
14 277 702 m²		 S 39.368279°
W 46.142578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5071 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37176513671875 y=0.61907958984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37176513671875 × 213)
    floor (0.37176513671875 × 8192)
    floor (3045.5)     		tx = 3045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.61907958984375 × 213)
    floor (0.61907958984375 × 8192)
    floor (5071.5)     		ty = 5071
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3045 / 5071 ti = "13/3045/5071"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3045/5071.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3045 ÷ 213
    3045 ÷ 8192     		x = 0.3717041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5071 ÷ 213
    5071 ÷ 8192     		y = 0.6190185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3717041015625 × 2 - 1) × π
    -0.256591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.80610690
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6190185546875 × 2 - 1) × π
    -0.238037109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.747815634072876
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80610690} λ = -0.80610690}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.747815634072876))-π/2
    2×atan(0.473399501902689)-π/2
    2×0.442141663851275-π/2
    0.884283327702549-1.57079632675     		φ = -0.68651300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80610690} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.186523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68651300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.334297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3045 KachelY 5071 -0.80610690 -0.68651300 -46.186523 -39.334297
    Oben rechts KachelX + 1 3046 KachelY 5071 -0.80533991 -0.68651300 -46.142578 -39.334297
    Unten links KachelX 3045 KachelY + 1 5072 -0.80610690 -0.68710609 -46.186523 -39.368279
    Unten rechts KachelX + 1 3046 KachelY + 1 5072 -0.80533991 -0.68710609 -46.142578 -39.368279
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68651300--0.68710609) × R
    0.000593089999999963 × 6371000     		dl = 3778.57638999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68651300--0.68710609) × R
    0.000593089999999963 × 6371000     		dr = 3778.57638999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80610690--0.80533991) × cos(-0.68651300) × R
    0.000766989999999912 × 0.773460926802857 × 6371000     		do = 3779.51162889891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80610690--0.80533991) × cos(-0.68710609) × R
    0.000766989999999912 × 0.773084864262395 × 6371000     		du = 3777.67400181832m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68651300)-sin(-0.68710609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.773460926802857-0.773084864262395)×R²
    abs(-0.80533991--0.80610690)×0.000376062540462296×R²
    0.000766989999999912×0.000376062540462296×6371000²
    0.000766989999999912×0.000376062540462296×40589641000000     		ar = 14277702.0180591m²