Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30448 / 41997
↖ ↑ ↗
← S 45.139430°
W 12.744140°		 ← 430.84 m → S 45.139430°
W 12.738647°		 →
↑
430.81 m
↓
↑
430.81 m
↓
S 45.143305°
W 12.744140°		 ← 430.81 m →
185 603 m²		 S 45.143305°
W 12.738647°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30448 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41997 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464607238769531 y=0.640830993652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464607238769531 × 216)
    floor (0.464607238769531 × 65536)
    floor (30448.5)     		tx = 30448
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640830993652344 × 216)
    floor (0.640830993652344 × 65536)
    floor (41997.5)     		ty = 41997
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30448 / 41997 ti = "16/30448/41997"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30448/41997.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30448 ÷ 216
    30448 ÷ 65536     		x = 0.464599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41997 ÷ 216
    41997 ÷ 65536     		y = 0.640823364257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464599609375 × 2 - 1) × π
    -0.07080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22242721
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640823364257812 × 2 - 1) × π
    -0.281646728515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.884819293186996
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22242721} λ = -0.22242721}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.884819293186996))-π/2
    2×atan(0.412788760280971)-π/2
    2×0.391482324708674-π/2
    0.782964649417349-1.57079632675     		φ = -0.78783168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22242721} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.744140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78783168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.139430°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30448 KachelY 41997 -0.22242721 -0.78783168 -12.744140 -45.139430
    Oben rechts KachelX + 1 30449 KachelY 41997 -0.22233134 -0.78783168 -12.738647 -45.139430
    Unten links KachelX 30448 KachelY + 1 41998 -0.22242721 -0.78789930 -12.744140 -45.143305
    Unten rechts KachelX + 1 30449 KachelY + 1 41998 -0.22233134 -0.78789930 -12.738647 -45.143305
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78783168--0.78789930) × R
    6.7619999999935e-05 × 6371000     		dl = 430.807019999586m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78783168--0.78789930) × R
    6.7619999999935e-05 × 6371000     		dr = 430.807019999586m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22242721--0.22233134) × cos(-0.78783168) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.705383933049914 × 6371000     		do = 430.839879461377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22242721--0.22233134) × cos(-0.78789930) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.705336000660902 × 6371000     		du = 430.810602944381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78783168)-sin(-0.78789930))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.705383933049914-0.705336000660902)×R²
    abs(-0.22233134--0.22242721)×4.79323890119066e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79323890119066e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79323890119066e-05×40589641000000     		ar = 185602.538374001m²