Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30448 / 20401
↖ ↑ ↗
← N 56.019878°
W 12.744140°		 ← 341.37 m → N 56.019878°
W 12.738647°		 →
↑
341.42 m
↓
↑
341.42 m
↓
N 56.016808°
W 12.744140°		 ← 341.40 m →
116 557 m²		 N 56.016808°
W 12.738647°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30448 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464607238769531 y=0.311302185058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464607238769531 × 216)
    floor (0.464607238769531 × 65536)
    floor (30448.5)     		tx = 30448
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311302185058594 × 216)
    floor (0.311302185058594 × 65536)
    floor (20401.5)     		ty = 20401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30448 / 20401 ti = "16/30448/20401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30448/20401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30448 ÷ 216
    30448 ÷ 65536     		x = 0.464599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20401 ÷ 216
    20401 ÷ 65536     		y = 0.311294555664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464599609375 × 2 - 1) × π
    -0.07080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22242721
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311294555664062 × 2 - 1) × π
    0.377410888671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.18567127520247
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22242721} λ = -0.22242721}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18567127520247))-π/2
    2×atan(3.2728830894919)-π/2
    2×1.27426382259998-π/2
    2.54852764519995-1.57079632675     		φ = 0.97773132
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22242721} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.744140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97773132 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.019878°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30448 KachelY 20401 -0.22242721 0.97773132 -12.744140 56.019878
    Oben rechts KachelX + 1 30449 KachelY 20401 -0.22233134 0.97773132 -12.738647 56.019878
    Unten links KachelX 30448 KachelY + 1 20402 -0.22242721 0.97767773 -12.744140 56.016808
    Unten rechts KachelX + 1 30449 KachelY + 1 20402 -0.22233134 0.97767773 -12.738647 56.016808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97773132-0.97767773) × R
    5.35899999999367e-05 × 6371000     		dl = 341.421889999597m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97773132-0.97767773) × R
    5.35899999999367e-05 × 6371000     		dr = 341.421889999597m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22242721--0.22233134) × cos(0.97773132) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.558905244452913 × 6371000     		do = 341.372487900692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22242721--0.22233134) × cos(0.97767773) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.558949682167943 × 6371000     		du = 341.399629913559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97773132)-sin(0.97767773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558905244452913-0.558949682167943)×R²
    abs(-0.22233134--0.22242721)×4.44377150299324e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.44377150299324e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.44377150299324e-05×40589641000000     		ar = 116556.673479186m²