Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30447 / 20413
↖ ↑ ↗
← N 55.983019°
W 12.749634°		 ← 341.73 m → N 55.983019°
W 12.744140°		 →
↑
341.74 m
↓
↑
341.74 m
↓
N 55.979945°
W 12.749634°		 ← 341.76 m →
116 789 m²		 N 55.979945°
W 12.744140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30447 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20413 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464591979980469 y=0.311485290527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464591979980469 × 216)
    floor (0.464591979980469 × 65536)
    floor (30447.5)     		tx = 30447
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311485290527344 × 216)
    floor (0.311485290527344 × 65536)
    floor (20413.5)     		ty = 20413
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30447 / 20413 ti = "16/30447/20413"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30447/20413.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30447 ÷ 216
    30447 ÷ 65536     		x = 0.464584350585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20413 ÷ 216
    20413 ÷ 65536     		y = 0.311477661132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464584350585938 × 2 - 1) × π
    -0.070831298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22252309
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311477661132812 × 2 - 1) × π
    0.377044677734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.18452078961159
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22252309} λ = -0.22252309}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18452078961159))-π/2
    2×atan(3.26911984984839)-π/2
    2×1.2739421629959-π/2
    2.5478843259918-1.57079632675     		φ = 0.97708800
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22252309} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.749634°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97708800 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.983019°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30447 KachelY 20413 -0.22252309 0.97708800 -12.749634 55.983019
    Oben rechts KachelX + 1 30448 KachelY 20413 -0.22242721 0.97708800 -12.744140 55.983019
    Unten links KachelX 30447 KachelY + 1 20414 -0.22252309 0.97703436 -12.749634 55.979945
    Unten rechts KachelX + 1 30448 KachelY + 1 20414 -0.22242721 0.97703436 -12.744140 55.979945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97708800-0.97703436) × R
    5.36399999999659e-05 × 6371000     		dl = 341.740439999783m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97708800-0.97703436) × R
    5.36399999999659e-05 × 6371000     		dr = 341.740439999783m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22252309--0.22242721) × cos(0.97708800) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.559438589988547 × 6371000     		do = 341.73389066369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22252309--0.22242721) × cos(0.97703436) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.559483049867159 × 6371000     		du = 341.76104904634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97708800)-sin(0.97703436))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.559438589988547-0.559483049867159)×R²
    abs(-0.22242721--0.22252309)×4.44598786119021e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.44598786119021e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.44598786119021e-05×40589641000000     		ar = 116788.930745276m²