Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30447 / 16891
↖ ↑ ↗
← N 65.378283°
W 12.749634°		 ← 254.50 m → N 65.378283°
W 12.744140°		 →
↑
254.52 m
↓
↑
254.52 m
↓
N 65.375994°
W 12.749634°		 ← 254.52 m →
64 778 m²		 N 65.375994°
W 12.744140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30447 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16891 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464591979980469 y=0.257743835449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464591979980469 × 216)
    floor (0.464591979980469 × 65536)
    floor (30447.5)     		tx = 30447
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257743835449219 × 216)
    floor (0.257743835449219 × 65536)
    floor (16891.5)     		ty = 16891
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30447 / 16891 ti = "16/30447/16891"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30447/16891.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30447 ÷ 216
    30447 ÷ 65536     		x = 0.464584350585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16891 ÷ 216
    16891 ÷ 65536     		y = 0.257736206054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464584350585938 × 2 - 1) × π
    -0.070831298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22252309
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.257736206054688 × 2 - 1) × π
    0.484527587890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.52218831053526
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22252309} λ = -0.22252309}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52218831053526))-π/2
    2×atan(4.58224159921043)-π/2
    2×1.35593130649203-π/2
    2.71186261298407-1.57079632675     		φ = 1.14106629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22252309} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.749634°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14106629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.378283°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30447 KachelY 16891 -0.22252309 1.14106629 -12.749634 65.378283
    Oben rechts KachelX + 1 30448 KachelY 16891 -0.22242721 1.14106629 -12.744140 65.378283
    Unten links KachelX 30447 KachelY + 1 16892 -0.22252309 1.14102634 -12.749634 65.375994
    Unten rechts KachelX + 1 30448 KachelY + 1 16892 -0.22242721 1.14102634 -12.744140 65.375994
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14106629-1.14102634) × R
    3.99499999998998e-05 × 6371000     		dl = 254.521449999362m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14106629-1.14102634) × R
    3.99499999998998e-05 × 6371000     		dr = 254.521449999362m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22252309--0.22242721) × cos(1.14106629) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.416625399934281 × 6371000     		do = 254.496242155501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22252309--0.22242721) × cos(1.14102634) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.416661717278144 × 6371000     		du = 254.51842665875m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14106629)-sin(1.14102634))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416625399934281-0.416661717278144)×R²
    abs(-0.22242721--0.22252309)×3.63173438630016e-05×R²
    9.58800000000204e-05×3.63173438630016e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×3.63173438630016e-05×40589641000000     		ar = 64777.5757970197m²