Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30446 / 20535
↖ ↑ ↗
← N 55.606281°
W 12.755127°		 ← 345.02 m → N 55.606281°
W 12.749634°		 →
↑
345.05 m
↓
↑
345.05 m
↓
N 55.603178°
W 12.755127°		 ← 345.05 m →
119 055 m²		 N 55.603178°
W 12.749634°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30446 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20535 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464576721191406 y=0.313346862792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464576721191406 × 216)
    floor (0.464576721191406 × 65536)
    floor (30446.5)     		tx = 30446
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313346862792969 × 216)
    floor (0.313346862792969 × 65536)
    floor (20535.5)     		ty = 20535
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30446 / 20535 ti = "16/30446/20535"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30446/20535.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30446 ÷ 216
    30446 ÷ 65536     		x = 0.464569091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20535 ÷ 216
    20535 ÷ 65536     		y = 0.313339233398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464569091796875 × 2 - 1) × π
    -0.07086181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22261896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.313339233398438 × 2 - 1) × π
    0.373321533203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.17282418610429
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22261896} λ = -0.22261896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17282418610429))-π/2
    2×atan(3.23110500682162)-π/2
    2×1.27065450970059-π/2
    2.54130901940118-1.57079632675     		φ = 0.97051269
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22261896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.755127°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97051269 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.606281°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30446 KachelY 20535 -0.22261896 0.97051269 -12.755127 55.606281
    Oben rechts KachelX + 1 30447 KachelY 20535 -0.22252309 0.97051269 -12.749634 55.606281
    Unten links KachelX 30446 KachelY + 1 20536 -0.22261896 0.97045853 -12.755127 55.603178
    Unten rechts KachelX + 1 30447 KachelY + 1 20536 -0.22252309 0.97045853 -12.749634 55.603178
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97051269-0.97045853) × R
    5.41599999999143e-05 × 6371000     		dl = 345.053359999454m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97051269-0.97045853) × R
    5.41599999999143e-05 × 6371000     		dr = 345.053359999454m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22261896--0.22252309) × cos(0.97051269) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.564876546227728 × 6371000     		do = 345.019685995728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22261896--0.22252309) × cos(0.97045853) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.564921236900427 × 6371000     		du = 345.046982512046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97051269)-sin(0.97045853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.564876546227728-0.564921236900427)×R²
    abs(-0.22252309--0.22261896)×4.46906726987439e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.46906726987439e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.46906726987439e-05×40589641000000     		ar = 119054.911325073m²