Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30444 / 20533
↖ ↑ ↗
← N 55.612487°
W 12.766113°		 ← 344.97 m → N 55.612487°
W 12.760620°		 →
↑
344.99 m
↓
↑
344.99 m
↓
N 55.609384°
W 12.766113°		 ← 344.99 m →
119 014 m²		 N 55.609384°
W 12.760620°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30444 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20533 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464546203613281 y=0.313316345214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464546203613281 × 216)
    floor (0.464546203613281 × 65536)
    floor (30444.5)     		tx = 30444
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313316345214844 × 216)
    floor (0.313316345214844 × 65536)
    floor (20533.5)     		ty = 20533
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30444 / 20533 ti = "16/30444/20533"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30444/20533.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30444 ÷ 216
    30444 ÷ 65536     		x = 0.46453857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20533 ÷ 216
    20533 ÷ 65536     		y = 0.313308715820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46453857421875 × 2 - 1) × π
    -0.0709228515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22281071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.313308715820312 × 2 - 1) × π
    0.373382568359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.17301593370277
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22281071} λ = -0.22281071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17301593370277))-π/2
    2×atan(3.23172462285016)-π/2
    2×1.27070866227659-π/2
    2.54141732455319-1.57079632675     		φ = 0.97062100
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22281071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.766113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97062100 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.612487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30444 KachelY 20533 -0.22281071 0.97062100 -12.766113 55.612487
    Oben rechts KachelX + 1 30445 KachelY 20533 -0.22271484 0.97062100 -12.760620 55.612487
    Unten links KachelX 30444 KachelY + 1 20534 -0.22281071 0.97056685 -12.766113 55.609384
    Unten rechts KachelX + 1 30445 KachelY + 1 20534 -0.22271484 0.97056685 -12.760620 55.609384
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97062100-0.97056685) × R
    5.41499999999751e-05 × 6371000     		dl = 344.989649999841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97062100-0.97056685) × R
    5.41499999999751e-05 × 6371000     		dr = 344.989649999841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22281071--0.22271484) × cos(0.97062100) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.564787168163961 × 6371000     		do = 344.965094967473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22281071--0.22271484) × cos(0.97056685) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.564831853898073 × 6371000     		du = 344.992388467363m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97062100)-sin(0.97056685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.564787168163961-0.564831853898073)×R²
    abs(-0.22271484--0.22281071)×4.46857341126483e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.46857341126483e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.46857341126483e-05×40589641000000     		ar = 119014.095391564m²