Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30444 / 20134
↖ ↑ ↗
← N 56.830944°
W 12.766113°		 ← 334.17 m → N 56.830944°
W 12.760620°		 →
↑
334.16 m
↓
↑
334.16 m
↓
N 56.827939°
W 12.766113°		 ← 334.20 m →
111 670 m²		 N 56.827939°
W 12.760620°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30444 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20134 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464546203613281 y=0.307228088378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464546203613281 × 216)
    floor (0.464546203613281 × 65536)
    floor (30444.5)     		tx = 30444
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307228088378906 × 216)
    floor (0.307228088378906 × 65536)
    floor (20134.5)     		ty = 20134
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30444 / 20134 ti = "16/30444/20134"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30444/20134.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30444 ÷ 216
    30444 ÷ 65536     		x = 0.46453857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20134 ÷ 216
    20134 ÷ 65536     		y = 0.307220458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46453857421875 × 2 - 1) × π
    -0.0709228515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22281071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307220458984375 × 2 - 1) × π
    0.38555908203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.21126957959958
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22281071} λ = -0.22281071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21126957959958))-π/2
    2×atan(3.35774487202304)-π/2
    2×1.28134170908913-π/2
    2.56268341817826-1.57079632675     		φ = 0.99188709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22281071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.766113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99188709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.830944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30444 KachelY 20134 -0.22281071 0.99188709 -12.766113 56.830944
    Oben rechts KachelX + 1 30445 KachelY 20134 -0.22271484 0.99188709 -12.760620 56.830944
    Unten links KachelX 30444 KachelY + 1 20135 -0.22281071 0.99183464 -12.766113 56.827939
    Unten rechts KachelX + 1 30445 KachelY + 1 20135 -0.22271484 0.99183464 -12.760620 56.827939
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99188709-0.99183464) × R
    5.24499999999817e-05 × 6371000     		dl = 334.158949999883m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99188709-0.99183464) × R
    5.24499999999817e-05 × 6371000     		dr = 334.158949999883m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22281071--0.22271484) × cos(0.99188709) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.547111228282178 × 6371000     		do = 334.168847064425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22281071--0.22271484) × cos(0.99183464) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.547155131322229 × 6371000     		du = 334.195662504354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99188709)-sin(0.99183464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.547111228282178-0.547155131322229)×R²
    abs(-0.22271484--0.22281071)×4.39030400504192e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.39030400504192e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.39030400504192e-05×40589641000000     		ar = 111669.991392937m²