Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30443 / 20124
↖ ↑ ↗
← N 56.860986°
W 12.771606°		 ← 333.90 m → N 56.860986°
W 12.766113°		 →
↑
333.97 m
↓
↑
333.97 m
↓
N 56.857982°
W 12.771606°		 ← 333.93 m →
111 517 m²		 N 56.857982°
W 12.766113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30443 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20124 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464530944824219 y=0.307075500488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464530944824219 × 216)
    floor (0.464530944824219 × 65536)
    floor (30443.5)     		tx = 30443
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307075500488281 × 216)
    floor (0.307075500488281 × 65536)
    floor (20124.5)     		ty = 20124
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30443 / 20124 ti = "16/30443/20124"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30443/20124.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30443 ÷ 216
    30443 ÷ 65536     		x = 0.464523315429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20124 ÷ 216
    20124 ÷ 65536     		y = 0.30706787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464523315429688 × 2 - 1) × π
    -0.070953369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22290658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30706787109375 × 2 - 1) × π
    0.3858642578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.21222831759198
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22290658} λ = -0.22290658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21222831759198))-π/2
    2×atan(3.36096561327744)-π/2
    2×1.28160387202714-π/2
    2.56320774405429-1.57079632675     		φ = 0.99241142
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22290658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.771606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99241142 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.860986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30443 KachelY 20124 -0.22290658 0.99241142 -12.771606 56.860986
    Oben rechts KachelX + 1 30444 KachelY 20124 -0.22281071 0.99241142 -12.766113 56.860986
    Unten links KachelX 30443 KachelY + 1 20125 -0.22290658 0.99235900 -12.771606 56.857982
    Unten rechts KachelX + 1 30444 KachelY + 1 20125 -0.22281071 0.99235900 -12.766113 56.857982
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99241142-0.99235900) × R
    5.2420000000053e-05 × 6371000     		dl = 333.967820000338m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99241142-0.99235900) × R
    5.2420000000053e-05 × 6371000     		dr = 333.967820000338m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22290658--0.22281071) × cos(0.99241142) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.546672257469805 × 6371000     		do = 333.900729060841m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22290658--0.22281071) × cos(0.99235900) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.546716150431049 × 6371000     		du = 333.927538344758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99241142)-sin(0.99235900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.546672257469805-0.546716150431049)×R²
    abs(-0.22281071--0.22290658)×4.38929612437411e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.38929612437411e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.38929612437411e-05×40589641000000     		ar = 111516.575325597m²