Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30439 / 20583
↖ ↑ ↗
← N 55.457056°
W 12.793579°		 ← 346.37 m → N 55.457056°
W 12.788086°		 →
↑
346.33 m
↓
↑
346.33 m
↓
N 55.453941°
W 12.793579°		 ← 346.39 m →
119 961 m²		 N 55.453941°
W 12.788086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30439 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20583 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464469909667969 y=0.314079284667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464469909667969 × 216)
    floor (0.464469909667969 × 65536)
    floor (30439.5)     		tx = 30439
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314079284667969 × 216)
    floor (0.314079284667969 × 65536)
    floor (20583.5)     		ty = 20583
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30439 / 20583 ti = "16/30439/20583"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30439/20583.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30439 ÷ 216
    30439 ÷ 65536     		x = 0.464462280273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20583 ÷ 216
    20583 ÷ 65536     		y = 0.314071655273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464462280273438 × 2 - 1) × π
    -0.071075439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22329008
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314071655273438 × 2 - 1) × π
    0.371856689453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.16822224374077
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22329008} λ = -0.22329008}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16822224374077))-π/2
    2×atan(3.21626980935306)-π/2
    2×1.26935227552596-π/2
    2.53870455105191-1.57079632675     		φ = 0.96790822
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22329008} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.793579°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96790822 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.457056°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30439 KachelY 20583 -0.22329008 0.96790822 -12.793579 55.457056
    Oben rechts KachelX + 1 30440 KachelY 20583 -0.22319420 0.96790822 -12.788086 55.457056
    Unten links KachelX 30439 KachelY + 1 20584 -0.22329008 0.96785386 -12.793579 55.453941
    Unten rechts KachelX + 1 30440 KachelY + 1 20584 -0.22319420 0.96785386 -12.788086 55.453941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96790822-0.96785386) × R
    5.43600000000311e-05 × 6371000     		dl = 346.327560000198m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96790822-0.96785386) × R
    5.43600000000311e-05 × 6371000     		dr = 346.327560000198m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22329008--0.22319420) × cos(0.96790822) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.56702377259357 × 6371000     		do = 346.367310683939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22329008--0.22319420) × cos(0.96785386) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.567068548165355 × 6371000     		du = 346.394661908232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96790822)-sin(0.96785386))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.56702377259357-0.567068548165355)×R²
    abs(-0.22319420--0.22329008)×4.47755717848386e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.47755717848386e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.47755717848386e-05×40589641000000     		ar = 119961.281843905m²