Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30438 / 6879
↖ ↑ ↗
← N 71.639454°
E154.401856°		 ← 384.81 m → N 71.639454°
E154.412842°		 →
↑
384.81 m
↓
↑
384.81 m
↓
N 71.635993°
E154.401856°		 ← 384.88 m →
148 092 m²		 N 71.635993°
E154.412842°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30438 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6879 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.928909301757812 y=0.209945678710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.928909301757812 × 215)
    floor (0.928909301757812 × 32768)
    floor (30438.5)     		tx = 30438
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209945678710938 × 215)
    floor (0.209945678710938 × 32768)
    floor (6879.5)     		ty = 6879
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30438 / 6879 ti = "15/30438/6879"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30438/6879.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30438 ÷ 215
    30438 ÷ 32768     		x = 0.92889404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6879 ÷ 215
    6879 ÷ 32768     		y = 0.209930419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.92889404296875 × 2 - 1) × π
    0.8577880859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.69482075
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.209930419921875 × 2 - 1) × π
    0.58013916015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.82256092355454
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.69482075} λ = 2.69482075}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82256092355454))-π/2
    2×atan(6.18768436339116)-π/2
    2×1.41057033533355-π/2
    2.8211406706671-1.57079632675     		φ = 1.25034434
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.69482075} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 154.401856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25034434 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.639454°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30438 KachelY 6879 2.69482075 1.25034434 154.401856 71.639454
    Oben rechts KachelX + 1 30439 KachelY 6879 2.69501250 1.25034434 154.412842 71.639454
    Unten links KachelX 30438 KachelY + 1 6880 2.69482075 1.25028394 154.401856 71.635993
    Unten rechts KachelX + 1 30439 KachelY + 1 6880 2.69501250 1.25028394 154.412842 71.635993
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25034434-1.25028394) × R
    6.03999999999605e-05 × 6371000     		dl = 384.808399999748m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25034434-1.25028394) × R
    6.03999999999605e-05 × 6371000     		dr = 384.808399999748m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.69482075-2.69501250) × cos(1.25034434) × R
    0.000191749999999935 × 0.314995570344006 × 6371000     		do = 384.810952308243m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.69482075-2.69501250) × cos(1.25028394) × R
    0.000191749999999935 × 0.315052894995122 × 6371000     		du = 384.880982352039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25034434)-sin(1.25028394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.314995570344006-0.315052894995122)×R²
    abs(2.69501250-2.69482075)×5.73246511161862e-05×R²
    0.000191749999999935×5.73246511161862e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.73246511161862e-05×40589641000000     		ar = 148091.960979619m²