Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30436 / 41740
↖ ↑ ↗
← S 44.134913°
W 12.810059°		 ← 438.36 m → S 44.134913°
W 12.804566°		 →
↑
438.39 m
↓
↑
438.39 m
↓
S 44.138856°
W 12.810059°		 ← 438.33 m →
192 167 m²		 S 44.138856°
W 12.804566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30436 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464424133300781 y=0.636909484863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464424133300781 × 216)
    floor (0.464424133300781 × 65536)
    floor (30436.5)     		tx = 30436
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636909484863281 × 216)
    floor (0.636909484863281 × 65536)
    floor (41740.5)     		ty = 41740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30436 / 41740 ti = "16/30436/41740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30436/41740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30436 ÷ 216
    30436 ÷ 65536     		x = 0.46441650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41740 ÷ 216
    41740 ÷ 65536     		y = 0.63690185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46441650390625 × 2 - 1) × π
    -0.0711669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22357770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63690185546875 × 2 - 1) × π
    -0.2738037109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.860179726782288
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22357770} λ = -0.22357770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.860179726782288))-π/2
    2×atan(0.423086035592329)-π/2
    2×0.400248386068191-π/2
    0.800496772136383-1.57079632675     		φ = -0.77029955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22357770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.810059°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77029955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.134913°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30436 KachelY 41740 -0.22357770 -0.77029955 -12.810059 -44.134913
    Oben rechts KachelX + 1 30437 KachelY 41740 -0.22348183 -0.77029955 -12.804566 -44.134913
    Unten links KachelX 30436 KachelY + 1 41741 -0.22357770 -0.77036836 -12.810059 -44.138856
    Unten rechts KachelX + 1 30437 KachelY + 1 41741 -0.22348183 -0.77036836 -12.804566 -44.138856
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77029955--0.77036836) × R
    6.88099999999192e-05 × 6371000     		dl = 438.388509999485m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77029955--0.77036836) × R
    6.88099999999192e-05 × 6371000     		dr = 438.388509999485m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22357770--0.22348183) × cos(-0.77029955) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.717702110094196 × 6371000     		do = 438.363671348719m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22357770--0.22348183) × cos(-0.77036836) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.71765419253392 × 6371000     		du = 438.334403888934m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77029955)-sin(-0.77036836))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.717702110094196-0.71765419253392)×R²
    abs(-0.22348183--0.22357770)×4.79175602766668e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79175602766668e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79175602766668e-05×40589641000000     		ar = 192167.181537387m²