Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30436 / 20548
↖ ↑ ↗
← N 55.565922°
W 12.810059°		 ← 345.37 m → N 55.565922°
W 12.804566°		 →
↑
345.37 m
↓
↑
345.37 m
↓
N 55.562816°
W 12.810059°		 ← 345.40 m →
119 287 m²		 N 55.562816°
W 12.804566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30436 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464424133300781 y=0.313545227050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464424133300781 × 216)
    floor (0.464424133300781 × 65536)
    floor (30436.5)     		tx = 30436
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313545227050781 × 216)
    floor (0.313545227050781 × 65536)
    floor (20548.5)     		ty = 20548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30436 / 20548 ti = "16/30436/20548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30436/20548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30436 ÷ 216
    30436 ÷ 65536     		x = 0.46441650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20548 ÷ 216
    20548 ÷ 65536     		y = 0.31353759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46441650390625 × 2 - 1) × π
    -0.0711669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22357770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31353759765625 × 2 - 1) × π
    0.3729248046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.17157782671417
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22357770} λ = -0.22357770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17157782671417))-π/2
    2×atan(3.2270803973318)-π/2
    2×1.27030230905521-π/2
    2.54060461811041-1.57079632675     		φ = 0.96980829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22357770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.810059°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96980829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.565922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30436 KachelY 20548 -0.22357770 0.96980829 -12.810059 55.565922
    Oben rechts KachelX + 1 30437 KachelY 20548 -0.22348183 0.96980829 -12.804566 55.565922
    Unten links KachelX 30436 KachelY + 1 20549 -0.22357770 0.96975408 -12.810059 55.562816
    Unten rechts KachelX + 1 30437 KachelY + 1 20549 -0.22348183 0.96975408 -12.804566 55.562816
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96980829-0.96975408) × R
    5.42100000000545e-05 × 6371000     		dl = 345.371910000347m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96980829-0.96975408) × R
    5.42100000000545e-05 × 6371000     		dr = 345.371910000347m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22357770--0.22348183) × cos(0.96980829) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.565457659611341 × 6371000     		do = 345.374622943422m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22357770--0.22348183) × cos(0.96975408) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.565502369959224 × 6371000     		du = 345.401931477102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96980829)-sin(0.96975408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.565457659611341-0.565502369959224)×R²
    abs(-0.22348183--0.22357770)×4.47103478831146e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.47103478831146e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.47103478831146e-05×40589641000000     		ar = 119287.4090209m²