Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30435 / 16861
↖ ↑ ↗
← N 65.446850°
W 12.815552°		 ← 253.81 m → N 65.446850°
W 12.810059°		 →
↑
253.82 m
↓
↑
253.82 m
↓
N 65.444567°
W 12.815552°		 ← 253.83 m →
64 424 m²		 N 65.444567°
W 12.810059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30435 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16861 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464408874511719 y=0.257286071777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464408874511719 × 216)
    floor (0.464408874511719 × 65536)
    floor (30435.5)     		tx = 30435
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257286071777344 × 216)
    floor (0.257286071777344 × 65536)
    floor (16861.5)     		ty = 16861
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30435 / 16861 ti = "16/30435/16861"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30435/16861.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30435 ÷ 216
    30435 ÷ 65536     		x = 0.464401245117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16861 ÷ 216
    16861 ÷ 65536     		y = 0.257278442382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464401245117188 × 2 - 1) × π
    -0.071197509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22367357
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.257278442382812 × 2 - 1) × π
    0.485443115234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.52506452451247
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22367357} λ = -0.22367357}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52506452451247))-π/2
    2×atan(4.59544007827116)-π/2
    2×1.35652967563331-π/2
    2.71305935126661-1.57079632675     		φ = 1.14226302
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22367357} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.815552°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14226302 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.446850°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30435 KachelY 16861 -0.22367357 1.14226302 -12.815552 65.446850
    Oben rechts KachelX + 1 30436 KachelY 16861 -0.22357770 1.14226302 -12.810059 65.446850
    Unten links KachelX 30435 KachelY + 1 16862 -0.22367357 1.14222318 -12.815552 65.444567
    Unten rechts KachelX + 1 30436 KachelY + 1 16862 -0.22357770 1.14222318 -12.810059 65.444567
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14226302-1.14222318) × R
    3.98399999999022e-05 × 6371000     		dl = 253.820639999377m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14226302-1.14222318) × R
    3.98399999999022e-05 × 6371000     		dr = 253.820639999377m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22367357--0.22357770) × cos(1.14226302) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.415537180634623 × 6371000     		do = 253.805027911903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22367357--0.22357770) × cos(1.14222318) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.41557341782038 × 6371000     		du = 253.827161141783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14226302)-sin(1.14222318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415537180634623-0.41557341782038)×R²
    abs(-0.22357770--0.22367357)×3.62371857577926e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.62371857577926e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.62371857577926e-05×40589641000000     		ar = 64423.7635632327m²