Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30434 / 41725
↖ ↑ ↗
← S 44.075747°
W 12.821045°		 ← 438.85 m → S 44.075747°
W 12.815552°		 →
↑
438.77 m
↓
↑
438.77 m
↓
S 44.079693°
W 12.821045°		 ← 438.82 m →
192 547 m²		 S 44.079693°
W 12.815552°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30434 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41725 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464393615722656 y=0.636680603027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464393615722656 × 216)
    floor (0.464393615722656 × 65536)
    floor (30434.5)     		tx = 30434
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636680603027344 × 216)
    floor (0.636680603027344 × 65536)
    floor (41725.5)     		ty = 41725
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30434 / 41725 ti = "16/30434/41725"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30434/41725.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30434 ÷ 216
    30434 ÷ 65536     		x = 0.464385986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41725 ÷ 216
    41725 ÷ 65536     		y = 0.636672973632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464385986328125 × 2 - 1) × π
    -0.07122802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22376945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636672973632812 × 2 - 1) × π
    -0.273345947265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.858741619793686
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22376945} λ = -0.22376945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.858741619793686))-π/2
    2×atan(0.423694916289749)-π/2
    2×0.40076471067163-π/2
    0.80152942134326-1.57079632675     		φ = -0.76926691
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22376945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.821045°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76926691 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.075747°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30434 KachelY 41725 -0.22376945 -0.76926691 -12.821045 -44.075747
    Oben rechts KachelX + 1 30435 KachelY 41725 -0.22367357 -0.76926691 -12.815552 -44.075747
    Unten links KachelX 30434 KachelY + 1 41726 -0.22376945 -0.76933578 -12.821045 -44.079693
    Unten rechts KachelX + 1 30435 KachelY + 1 41726 -0.22367357 -0.76933578 -12.815552 -44.079693
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76926691--0.76933578) × R
    6.88699999999987e-05 × 6371000     		dl = 438.770769999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76926691--0.76933578) × R
    6.88699999999987e-05 × 6371000     		dr = 438.770769999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22376945--0.22367357) × cos(-0.76926691) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.718420806437211 × 6371000     		do = 438.848412875057m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22376945--0.22367357) × cos(-0.76933578) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.718372898158289 × 6371000     		du = 438.819148031974m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76926691)-sin(-0.76933578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.718420806437211-0.718372898158289)×R²
    abs(-0.22367357--0.22376945)×4.79082789214269e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.79082789214269e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.79082789214269e-05×40589641000000     		ar = 192547.435827621m²