Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30434 / 20170
↖ ↑ ↗
← N 56.722594°
W 12.821045°		 ← 335.17 m → N 56.722594°
W 12.815552°		 →
↑
335.18 m
↓
↑
335.18 m
↓
N 56.719580°
W 12.821045°		 ← 335.20 m →
112 346 m²		 N 56.719580°
W 12.815552°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30434 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464393615722656 y=0.307777404785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464393615722656 × 216)
    floor (0.464393615722656 × 65536)
    floor (30434.5)     		tx = 30434
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307777404785156 × 216)
    floor (0.307777404785156 × 65536)
    floor (20170.5)     		ty = 20170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30434 / 20170 ti = "16/30434/20170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30434/20170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30434 ÷ 216
    30434 ÷ 65536     		x = 0.464385986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20170 ÷ 216
    20170 ÷ 65536     		y = 0.307769775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464385986328125 × 2 - 1) × π
    -0.07122802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22376945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307769775390625 × 2 - 1) × π
    0.38446044921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.20781812282693
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22376945} λ = -0.22376945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20781812282693))-π/2
    2×atan(3.34617573741251)-π/2
    2×1.28039617907993-π/2
    2.56079235815986-1.57079632675     		φ = 0.98999603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22376945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.821045°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98999603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.722594°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30434 KachelY 20170 -0.22376945 0.98999603 -12.821045 56.722594
    Oben rechts KachelX + 1 30435 KachelY 20170 -0.22367357 0.98999603 -12.815552 56.722594
    Unten links KachelX 30434 KachelY + 1 20171 -0.22376945 0.98994342 -12.821045 56.719580
    Unten rechts KachelX + 1 30435 KachelY + 1 20171 -0.22367357 0.98994342 -12.815552 56.719580
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98999603-0.98994342) × R
    5.26100000000085e-05 × 6371000     		dl = 335.178310000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98999603-0.98994342) × R
    5.26100000000085e-05 × 6371000     		dr = 335.178310000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22376945--0.22367357) × cos(0.98999603) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.548693179600399 × 6371000     		do = 335.170040824881m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22376945--0.22367357) × cos(0.98994342) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.548737162053172 × 6371000     		du = 335.196907571251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98999603)-sin(0.98994342))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.548693179600399-0.548737162053172)×R²
    abs(-0.22367357--0.22376945)×4.39824527734833e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.39824527734833e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.39824527734833e-05×40589641000000     		ar = 112346.230447692m²