Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30433 / 20317
↖ ↑ ↗
← N 56.276911°
W 12.826538°		 ← 339.10 m → N 56.276911°
W 12.821045°		 →
↑
339.06 m
↓
↑
339.06 m
↓
N 56.273862°
W 12.826538°		 ← 339.12 m →
114 980 m²		 N 56.273862°
W 12.821045°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30433 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20317 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464378356933594 y=0.310020446777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464378356933594 × 216)
    floor (0.464378356933594 × 65536)
    floor (30433.5)     		tx = 30433
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310020446777344 × 216)
    floor (0.310020446777344 × 65536)
    floor (20317.5)     		ty = 20317
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30433 / 20317 ti = "16/30433/20317"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30433/20317.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30433 ÷ 216
    30433 ÷ 65536     		x = 0.464370727539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20317 ÷ 216
    20317 ÷ 65536     		y = 0.310012817382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464370727539062 × 2 - 1) × π
    -0.071258544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22386532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310012817382812 × 2 - 1) × π
    0.379974365234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.19372467433864
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22386532} λ = -0.22386532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19372467433864))-π/2
    2×atan(3.29934734390637)-π/2
    2×1.276506860562-π/2
    2.553013721124-1.57079632675     		φ = 0.98221739
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22386532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.826538°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98221739 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.276911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30433 KachelY 20317 -0.22386532 0.98221739 -12.826538 56.276911
    Oben rechts KachelX + 1 30434 KachelY 20317 -0.22376945 0.98221739 -12.821045 56.276911
    Unten links KachelX 30433 KachelY + 1 20318 -0.22386532 0.98216417 -12.826538 56.273862
    Unten rechts KachelX + 1 30434 KachelY + 1 20318 -0.22376945 0.98216417 -12.821045 56.273862
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98221739-0.98216417) × R
    5.3219999999965e-05 × 6371000     		dl = 339.064619999777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98221739-0.98216417) × R
    5.3219999999965e-05 × 6371000     		dr = 339.064619999777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22386532--0.22376945) × cos(0.98221739) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.555179642322149 × 6371000     		do = 339.096935683336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22386532--0.22376945) × cos(0.98216417) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.555223906231186 × 6371000     		du = 339.123971537628m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98221739)-sin(0.98216417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555179642322149-0.555223906231186)×R²
    abs(-0.22376945--0.22386532)×4.42639090367791e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.42639090367791e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.42639090367791e-05×40589641000000     		ar = 114980.357118718m²