Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30432 / 20256
↖ ↑ ↗
← N 56.462490°
W 12.832032°		 ← 337.48 m → N 56.462490°
W 12.826538°		 →
↑
337.47 m
↓
↑
337.47 m
↓
N 56.459455°
W 12.832032°		 ← 337.51 m →
113 896 m²		 N 56.459455°
W 12.826538°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464363098144531 y=0.309089660644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464363098144531 × 216)
    floor (0.464363098144531 × 65536)
    floor (30432.5)     		tx = 30432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309089660644531 × 216)
    floor (0.309089660644531 × 65536)
    floor (20256.5)     		ty = 20256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30432 / 20256 ti = "16/30432/20256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30432/20256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30432 ÷ 216
    30432 ÷ 65536     		x = 0.46435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20256 ÷ 216
    20256 ÷ 65536     		y = 0.30908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46435546875 × 2 - 1) × π
    -0.0712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22396120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30908203125 × 2 - 1) × π
    0.3818359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.19957297609229
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22396120} λ = -0.22396120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19957297609229))-π/2
    2×atan(3.31869945610174)-π/2
    2×1.2781263447979-π/2
    2.5562526895958-1.57079632675     		φ = 0.98545636
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22396120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.832032°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98545636 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.462490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30432 KachelY 20256 -0.22396120 0.98545636 -12.832032 56.462490
    Oben rechts KachelX + 1 30433 KachelY 20256 -0.22386532 0.98545636 -12.826538 56.462490
    Unten links KachelX 30432 KachelY + 1 20257 -0.22396120 0.98540339 -12.832032 56.459455
    Unten rechts KachelX + 1 30433 KachelY + 1 20257 -0.22386532 0.98540339 -12.826538 56.459455
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98545636-0.98540339) × R
    5.2970000000041e-05 × 6371000     		dl = 337.471870000261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98545636-0.98540339) × R
    5.2970000000041e-05 × 6371000     		dr = 337.471870000261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22396120--0.22386532) × cos(0.98545636) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.552482784839583 × 6371000     		do = 337.484926793755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22396120--0.22386532) × cos(0.98540339) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.552526935847087 × 6371000     		du = 337.511896502032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98545636)-sin(0.98540339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552482784839583-0.552526935847087)×R²
    abs(-0.22386532--0.22396120)×4.41510075038787e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.41510075038787e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.41510075038787e-05×40589641000000     		ar = 113896.220127525m²