Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30431 / 16866
↖ ↑ ↗
← N 65.435435°
W 12.837524°		 ← 253.92 m → N 65.435435°
W 12.832032°		 →
↑
253.95 m
↓
↑
253.95 m
↓
N 65.433151°
W 12.837524°		 ← 253.94 m →
64 484 m²		 N 65.433151°
W 12.832032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16866 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464347839355469 y=0.257362365722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464347839355469 × 216)
    floor (0.464347839355469 × 65536)
    floor (30431.5)     		tx = 30431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257362365722656 × 216)
    floor (0.257362365722656 × 65536)
    floor (16866.5)     		ty = 16866
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30431 / 16866 ti = "16/30431/16866"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30431/16866.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30431 ÷ 216
    30431 ÷ 65536     		x = 0.464340209960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16866 ÷ 216
    16866 ÷ 65536     		y = 0.257354736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464340209960938 × 2 - 1) × π
    -0.071319580078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22405707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.257354736328125 × 2 - 1) × π
    0.48529052734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.52458515551627
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22405707} λ = -0.22405707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52458515551627))-π/2
    2×atan(4.59323769469311)-π/2
    2×1.35643005609775-π/2
    2.7128601121955-1.57079632675     		φ = 1.14206379
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22405707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.837524°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14206379 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.435435°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30431 KachelY 16866 -0.22405707 1.14206379 -12.837524 65.435435
    Oben rechts KachelX + 1 30432 KachelY 16866 -0.22396120 1.14206379 -12.832032 65.435435
    Unten links KachelX 30431 KachelY + 1 16867 -0.22405707 1.14202393 -12.837524 65.433151
    Unten rechts KachelX + 1 30432 KachelY + 1 16867 -0.22396120 1.14202393 -12.832032 65.433151
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14206379-1.14202393) × R
    3.98600000000027e-05 × 6371000     		dl = 253.948060000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14206379-1.14202393) × R
    3.98600000000027e-05 × 6371000     		dr = 253.948060000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22405707--0.22396120) × cos(1.14206379) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.415718387251551 × 6371000     		do = 253.915706697366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22405707--0.22396120) × cos(1.14202393) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.415754639327729 × 6371000     		du = 253.937849022133m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14206379)-sin(1.14202393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415718387251551-0.415754639327729)×R²
    abs(-0.22396120--0.22405707)×3.62520761784113e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.62520761784113e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.62520761784113e-05×40589641000000     		ar = 64484.2126281451m²