Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30431 / 16228
↖ ↑ ↗
← N 66.852446°
W 12.837524°		 ← 240.10 m → N 66.852446°
W 12.832032°		 →
↑
240.12 m
↓
↑
240.12 m
↓
N 66.850287°
W 12.837524°		 ← 240.12 m →
57 656 m²		 N 66.850287°
W 12.832032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464347839355469 y=0.247627258300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464347839355469 × 216)
    floor (0.464347839355469 × 65536)
    floor (30431.5)     		tx = 30431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.247627258300781 × 216)
    floor (0.247627258300781 × 65536)
    floor (16228.5)     		ty = 16228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30431 / 16228 ti = "16/30431/16228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30431/16228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30431 ÷ 216
    30431 ÷ 65536     		x = 0.464340209960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16228 ÷ 216
    16228 ÷ 65536     		y = 0.24761962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464340209960938 × 2 - 1) × π
    -0.071319580078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22405707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24761962890625 × 2 - 1) × π
    0.5047607421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.58575263943146
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22405707} λ = -0.22405707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58575263943146))-π/2
    2×atan(4.88296510792516)-π/2
    2×1.36879581442914-π/2
    2.73759162885829-1.57079632675     		φ = 1.16679530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22405707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.837524°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16679530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.852446°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30431 KachelY 16228 -0.22405707 1.16679530 -12.837524 66.852446
    Oben rechts KachelX + 1 30432 KachelY 16228 -0.22396120 1.16679530 -12.832032 66.852446
    Unten links KachelX 30431 KachelY + 1 16229 -0.22405707 1.16675761 -12.837524 66.850287
    Unten rechts KachelX + 1 30432 KachelY + 1 16229 -0.22396120 1.16675761 -12.832032 66.850287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16679530-1.16675761) × R
    3.76900000000902e-05 × 6371000     		dl = 240.122990000574m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16679530-1.16675761) × R
    3.76900000000902e-05 × 6371000     		dr = 240.122990000574m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22405707--0.22396120) × cos(1.16679530) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.393100405250983 × 6371000     		do = 240.100919909339m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22405707--0.22396120) × cos(1.16675761) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.393135060759148 × 6371000     		du = 240.12208706989m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16679530)-sin(1.16675761))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393100405250983-0.393135060759148)×R²
    abs(-0.22396120--0.22405707)×3.46555081655597e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.46555081655597e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.46555081655597e-05×40589641000000     		ar = 57656.2921584896m²