Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30430 / 13214
↖ ↑ ↗
← N 72.557792°
W 12.843017°		 ← 183.08 m → N 72.557792°
W 12.837524°		 →
↑
183.10 m
↓
↑
183.10 m
↓
N 72.556145°
W 12.843017°		 ← 183.10 m →
33 524 m²		 N 72.556145°
W 12.837524°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30430 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13214 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464332580566406 y=0.201637268066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464332580566406 × 216)
    floor (0.464332580566406 × 65536)
    floor (30430.5)     		tx = 30430
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201637268066406 × 216)
    floor (0.201637268066406 × 65536)
    floor (13214.5)     		ty = 13214
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30430 / 13214 ti = "16/30430/13214"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30430/13214.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30430 ÷ 216
    30430 ÷ 65536     		x = 0.464324951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13214 ÷ 216
    13214 ÷ 65536     		y = 0.201629638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464324951171875 × 2 - 1) × π
    -0.07135009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22415294
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.201629638671875 × 2 - 1) × π
    0.59674072265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.87471627034116
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22415294} λ = -0.22415294}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87471627034116))-π/2
    2×atan(6.51896923299208)-π/2
    2×1.41858434653261-π/2
    2.83716869306523-1.57079632675     		φ = 1.26637237
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22415294} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.843017°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26637237 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.557792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30430 KachelY 13214 -0.22415294 1.26637237 -12.843017 72.557792
    Oben rechts KachelX + 1 30431 KachelY 13214 -0.22405707 1.26637237 -12.837524 72.557792
    Unten links KachelX 30430 KachelY + 1 13215 -0.22415294 1.26634363 -12.843017 72.556145
    Unten rechts KachelX + 1 30431 KachelY + 1 13215 -0.22405707 1.26634363 -12.837524 72.556145
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26637237-1.26634363) × R
    2.87400000000826e-05 × 6371000     		dl = 183.102540000526m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26637237-1.26634363) × R
    2.87400000000826e-05 × 6371000     		dr = 183.102540000526m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22415294--0.22405707) × cos(1.26637237) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.299743668361407 × 6371000     		do = 183.07976677008m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22415294--0.22405707) × cos(1.26634363) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.299771086765978 × 6371000     		du = 183.096513596264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26637237)-sin(1.26634363))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.299743668361407-0.299771086765978)×R²
    abs(-0.22405707--0.22415294)×2.7418404570434e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.7418404570434e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.7418404570434e-05×40589641000000     		ar = 33523.9035136515m²