Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3043 / 5075
↖ ↑ ↗
← S 39.470125°
W 46.274414°		 ← 3 772.16 m → S 39.470125°
W 46.230468°		 →
↑
3 771.25 m
↓
↑
3 771.25 m
↓
S 39.504041°
W 46.274414°		 ← 3 770.32 m →
14 222 284 m²		 S 39.504041°
W 46.230468°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3043 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5075 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37152099609375 y=0.61956787109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37152099609375 × 213)
    floor (0.37152099609375 × 8192)
    floor (3043.5)     		tx = 3043
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.61956787109375 × 213)
    floor (0.61956787109375 × 8192)
    floor (5075.5)     		ty = 5075
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3043 / 5075 ti = "13/3043/5075"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3043/5075.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3043 ÷ 213
    3043 ÷ 8192     		x = 0.3714599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5075 ÷ 213
    5075 ÷ 8192     		y = 0.6195068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3714599609375 × 2 - 1) × π
    -0.257080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.80764088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6195068359375 × 2 - 1) × π
    -0.239013671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.75088359564856
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80764088} λ = -0.80764088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.75088359564856))-π/2
    2×atan(0.47194935605422)-π/2
    2×0.440956343626092-π/2
    0.881912687252184-1.57079632675     		φ = -0.68888364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80764088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.274414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68888364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.470125°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3043 KachelY 5075 -0.80764088 -0.68888364 -46.274414 -39.470125
    Oben rechts KachelX + 1 3044 KachelY 5075 -0.80687389 -0.68888364 -46.230468 -39.470125
    Unten links KachelX 3043 KachelY + 1 5076 -0.80764088 -0.68947558 -46.274414 -39.504041
    Unten rechts KachelX + 1 3044 KachelY + 1 5076 -0.80687389 -0.68947558 -46.230468 -39.504041
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68888364--0.68947558) × R
    0.000591939999999958 × 6371000     		dl = 3771.24973999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68888364--0.68947558) × R
    0.000591939999999958 × 6371000     		dr = 3771.24973999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80764088--0.80687389) × cos(-0.68888364) × R
    0.000766990000000023 × 0.771956138911908 × 6371000     		do = 3772.15849296746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80764088--0.80687389) × cos(-0.68947558) × R
    0.000766990000000023 × 0.771579721758282 × 6371000     		du = 3770.31913307203m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68888364)-sin(-0.68947558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.771956138911908-0.771579721758282)×R²
    abs(-0.80687389--0.80764088)×0.000376417153625463×R²
    0.000766990000000023×0.000376417153625463×6371000²
    0.000766990000000023×0.000376417153625463×40589641000000     		ar = 14222283.8083595m²