Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30429 / 20553
↖ ↑ ↗
← N 55.550388°
W 12.848511°		 ← 345.55 m → N 55.550388°
W 12.843017°		 →
↑
345.50 m
↓
↑
345.50 m
↓
N 55.547281°
W 12.848511°		 ← 345.57 m →
119 391 m²		 N 55.547281°
W 12.843017°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20553 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464317321777344 y=0.313621520996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464317321777344 × 216)
    floor (0.464317321777344 × 65536)
    floor (30429.5)     		tx = 30429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313621520996094 × 216)
    floor (0.313621520996094 × 65536)
    floor (20553.5)     		ty = 20553
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30429 / 20553 ti = "16/30429/20553"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30429/20553.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30429 ÷ 216
    30429 ÷ 65536     		x = 0.464309692382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20553 ÷ 216
    20553 ÷ 65536     		y = 0.313613891601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464309692382812 × 2 - 1) × π
    -0.071380615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22424882
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.313613891601562 × 2 - 1) × π
    0.372772216796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.17109845771797
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22424882} λ = -0.22424882}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17109845771797))-π/2
    2×atan(3.22553380576471)-π/2
    2×1.27016675082554-π/2
    2.54033350165108-1.57079632675     		φ = 0.96953717
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22424882} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.848511°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96953717 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.550388°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30429 KachelY 20553 -0.22424882 0.96953717 -12.848511 55.550388
    Oben rechts KachelX + 1 30430 KachelY 20553 -0.22415294 0.96953717 -12.843017 55.550388
    Unten links KachelX 30429 KachelY + 1 20554 -0.22424882 0.96948294 -12.848511 55.547281
    Unten rechts KachelX + 1 30430 KachelY + 1 20554 -0.22415294 0.96948294 -12.843017 55.547281
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96953717-0.96948294) × R
    5.42299999999329e-05 × 6371000     		dl = 345.499329999573m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96953717-0.96948294) × R
    5.42299999999329e-05 × 6371000     		dr = 345.499329999573m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22424882--0.22415294) × cos(0.96953717) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.565681252454568 × 6371000     		do = 345.5472302701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22424882--0.22415294) × cos(0.96948294) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.56572597098158 × 6371000     		du = 345.574546648509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96953717)-sin(0.96948294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.565681252454568-0.56572597098158)×R²
    abs(-0.22415294--0.22424882)×4.47185270116002e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.47185270116002e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.47185270116002e-05×40589641000000     		ar = 119391.05546605m²