Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30429 / 16461
↖ ↑ ↗
← N 66.344118°
W 12.848511°		 ← 245.10 m → N 66.344118°
W 12.843017°		 →
↑
245.09 m
↓
↑
245.09 m
↓
N 66.341914°
W 12.848511°		 ← 245.12 m →
60 075 m²		 N 66.341914°
W 12.843017°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464317321777344 y=0.251182556152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464317321777344 × 216)
    floor (0.464317321777344 × 65536)
    floor (30429.5)     		tx = 30429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.251182556152344 × 216)
    floor (0.251182556152344 × 65536)
    floor (16461.5)     		ty = 16461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30429 / 16461 ti = "16/30429/16461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30429/16461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30429 ÷ 216
    30429 ÷ 65536     		x = 0.464309692382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16461 ÷ 216
    16461 ÷ 65536     		y = 0.251174926757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464309692382812 × 2 - 1) × π
    -0.071380615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22424882
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.251174926757812 × 2 - 1) × π
    0.497650146484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.56341404420851
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22424882} λ = -0.22424882}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56341404420851))-π/2
    2×atan(4.77509583652876)-π/2
    2×1.36435981404575-π/2
    2.72871962809151-1.57079632675     		φ = 1.15792330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22424882} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.848511°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15792330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.344118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30429 KachelY 16461 -0.22424882 1.15792330 -12.848511 66.344118
    Oben rechts KachelX + 1 30430 KachelY 16461 -0.22415294 1.15792330 -12.843017 66.344118
    Unten links KachelX 30429 KachelY + 1 16462 -0.22424882 1.15788483 -12.848511 66.341914
    Unten rechts KachelX + 1 30430 KachelY + 1 16462 -0.22415294 1.15788483 -12.843017 66.341914
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15792330-1.15788483) × R
    3.84700000000127e-05 × 6371000     		dl = 245.092370000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15792330-1.15788483) × R
    3.84700000000127e-05 × 6371000     		dr = 245.092370000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22424882--0.22415294) × cos(1.15792330) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.401242591941687 × 6371000     		do = 245.099631126597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22424882--0.22415294) × cos(1.15788483) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.401277829080841 × 6371000     		du = 245.1211557852m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15792330)-sin(1.15788483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401242591941687-0.401277829080841)×R²
    abs(-0.22415294--0.22424882)×3.52371391539874e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.52371391539874e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.52371391539874e-05×40589641000000     		ar = 60074.6872509597m²