Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30429 / 13207
↖ ↑ ↗
← N 72.569314°
W 12.848511°		 ← 182.98 m → N 72.569314°
W 12.843017°		 →
↑
182.98 m
↓
↑
182.98 m
↓
N 72.567668°
W 12.848511°		 ← 183 m →
33 483 m²		 N 72.567668°
W 12.843017°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13207 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464317321777344 y=0.201530456542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464317321777344 × 216)
    floor (0.464317321777344 × 65536)
    floor (30429.5)     		tx = 30429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201530456542969 × 216)
    floor (0.201530456542969 × 65536)
    floor (13207.5)     		ty = 13207
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30429 / 13207 ti = "16/30429/13207"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30429/13207.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30429 ÷ 216
    30429 ÷ 65536     		x = 0.464309692382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13207 ÷ 216
    13207 ÷ 65536     		y = 0.201522827148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464309692382812 × 2 - 1) × π
    -0.071380615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22424882
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.201522827148438 × 2 - 1) × π
    0.596954345703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.87538738693584
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22424882} λ = -0.22424882}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87538738693584))-π/2
    2×atan(6.52334568981669)-π/2
    2×1.41868489581592-π/2
    2.83736979163185-1.57079632675     		φ = 1.26657346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22424882} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.848511°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26657346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.569314°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30429 KachelY 13207 -0.22424882 1.26657346 -12.848511 72.569314
    Oben rechts KachelX + 1 30430 KachelY 13207 -0.22415294 1.26657346 -12.843017 72.569314
    Unten links KachelX 30429 KachelY + 1 13208 -0.22424882 1.26654474 -12.848511 72.567668
    Unten rechts KachelX + 1 30430 KachelY + 1 13208 -0.22415294 1.26654474 -12.843017 72.567668
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26657346-1.26654474) × R
    2.87199999999821e-05 × 6371000     		dl = 182.975119999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26657346-1.26654474) × R
    2.87199999999821e-05 × 6371000     		dr = 182.975119999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22424882--0.22415294) × cos(1.26657346) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.29955181846552 × 6371000     		do = 182.98167164634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22424882--0.22415294) × cos(1.26654474) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.299579219520503 × 6371000     		du = 182.99840962133m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26657346)-sin(1.26654474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29955181846552-0.299579219520503)×R²
    abs(-0.22415294--0.22424882)×2.74010549832227e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.74010549832227e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.74010549832227e-05×40589641000000     		ar = 33482.6246460531m²