Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30428 / 20179
↖ ↑ ↗
← N 56.695458°
W 12.854004°		 ← 335.38 m → N 56.695458°
W 12.848511°		 →
↑
335.37 m
↓
↑
335.37 m
↓
N 56.692442°
W 12.854004°		 ← 335.40 m →
112 480 m²		 N 56.692442°
W 12.848511°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30428 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20179 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464302062988281 y=0.307914733886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464302062988281 × 216)
    floor (0.464302062988281 × 65536)
    floor (30428.5)     		tx = 30428
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307914733886719 × 216)
    floor (0.307914733886719 × 65536)
    floor (20179.5)     		ty = 20179
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30428 / 20179 ti = "16/30428/20179"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30428/20179.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30428 ÷ 216
    30428 ÷ 65536     		x = 0.46429443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20179 ÷ 216
    20179 ÷ 65536     		y = 0.307907104492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46429443359375 × 2 - 1) × π
    -0.0714111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22434469
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307907104492188 × 2 - 1) × π
    0.384185791015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.20695525863377
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22434469} λ = -0.22434469}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20695525863377))-π/2
    2×atan(3.3432896874983)-π/2
    2×1.28015936983655-π/2
    2.5603187396731-1.57079632675     		φ = 0.98952241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22434469} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.854004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98952241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.695458°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30428 KachelY 20179 -0.22434469 0.98952241 -12.854004 56.695458
    Oben rechts KachelX + 1 30429 KachelY 20179 -0.22424882 0.98952241 -12.848511 56.695458
    Unten links KachelX 30428 KachelY + 1 20180 -0.22434469 0.98946977 -12.854004 56.692442
    Unten rechts KachelX + 1 30429 KachelY + 1 20180 -0.22424882 0.98946977 -12.848511 56.692442
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98952241-0.98946977) × R
    5.26399999999372e-05 × 6371000     		dl = 335.3694399996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98952241-0.98946977) × R
    5.26399999999372e-05 × 6371000     		dr = 335.3694399996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22434469--0.22424882) × cos(0.98952241) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.549089075637589 × 6371000     		do = 335.376892040134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22434469--0.22424882) × cos(0.98946977) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.549133069485061 × 6371000     		du = 335.403762944125m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98952241)-sin(0.98946977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.549089075637589-0.549133069485061)×R²
    abs(-0.22424882--0.22434469)×4.39938474717794e-05×R²
    9.58700000000257e-05×4.39938474717794e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×4.39938474717794e-05×40589641000000     		ar = 112479.666338297m²