Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30427 / 20251
↖ ↑ ↗
← N 56.477662°
W 12.859497°		 ← 337.31 m → N 56.477662°
W 12.854004°		 →
↑
337.34 m
↓
↑
337.34 m
↓
N 56.474628°
W 12.859497°		 ← 337.34 m →
113 796 m²		 N 56.474628°
W 12.854004°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30427 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20251 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464286804199219 y=0.309013366699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464286804199219 × 216)
    floor (0.464286804199219 × 65536)
    floor (30427.5)     		tx = 30427
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309013366699219 × 216)
    floor (0.309013366699219 × 65536)
    floor (20251.5)     		ty = 20251
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30427 / 20251 ti = "16/30427/20251"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30427/20251.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30427 ÷ 216
    30427 ÷ 65536     		x = 0.464279174804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20251 ÷ 216
    20251 ÷ 65536     		y = 0.309005737304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464279174804688 × 2 - 1) × π
    -0.071441650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22444056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309005737304688 × 2 - 1) × π
    0.381988525390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.20005234508849
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22444056} λ = -0.22444056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20005234508849))-π/2
    2×atan(3.3202907190993)-π/2
    2×1.27825873990275-π/2
    2.5565174798055-1.57079632675     		φ = 0.98572115
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22444056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.859497°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98572115 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.477662°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30427 KachelY 20251 -0.22444056 0.98572115 -12.859497 56.477662
    Oben rechts KachelX + 1 30428 KachelY 20251 -0.22434469 0.98572115 -12.854004 56.477662
    Unten links KachelX 30427 KachelY + 1 20252 -0.22444056 0.98566820 -12.859497 56.474628
    Unten rechts KachelX + 1 30428 KachelY + 1 20252 -0.22434469 0.98566820 -12.854004 56.474628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98572115-0.98566820) × R
    5.29500000000516e-05 × 6371000     		dl = 337.344450000329m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98572115-0.98566820) × R
    5.29500000000516e-05 × 6371000     		dr = 337.344450000329m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22444056--0.22434469) × cos(0.98572115) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.552262056572261 × 6371000     		do = 337.314909989378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22444056--0.22434469) × cos(0.98566820) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.552306198654783 × 6371000     		du = 337.341871433524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98572115)-sin(0.98566820))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552262056572261-0.552306198654783)×R²
    abs(-0.22434469--0.22444056)×4.4142082522014e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.4142082522014e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.4142082522014e-05×40589641000000     		ar = 113795.860460684m²