Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30425 / 20180
↖ ↑ ↗
← N 56.692442°
W 12.870483°		 ← 335.40 m → N 56.692442°
W 12.864990°		 →
↑
335.43 m
↓
↑
335.43 m
↓
N 56.689425°
W 12.870483°		 ← 335.43 m →
112 510 m²		 N 56.689425°
W 12.864990°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30425 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464256286621094 y=0.307929992675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464256286621094 × 216)
    floor (0.464256286621094 × 65536)
    floor (30425.5)     		tx = 30425
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307929992675781 × 216)
    floor (0.307929992675781 × 65536)
    floor (20180.5)     		ty = 20180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30425 / 20180 ti = "16/30425/20180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30425/20180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30425 ÷ 216
    30425 ÷ 65536     		x = 0.464248657226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20180 ÷ 216
    20180 ÷ 65536     		y = 0.30792236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464248657226562 × 2 - 1) × π
    -0.071502685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22463231
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30792236328125 × 2 - 1) × π
    0.3841552734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.20685938483453
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22463231} λ = -0.22463231}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20685938483453))-π/2
    2×atan(3.34296916897891)-π/2
    2×1.2801330471542-π/2
    2.5602660943084-1.57079632675     		φ = 0.98946977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22463231} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.870483°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98946977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.692442°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30425 KachelY 20180 -0.22463231 0.98946977 -12.870483 56.692442
    Oben rechts KachelX + 1 30426 KachelY 20180 -0.22453644 0.98946977 -12.864990 56.692442
    Unten links KachelX 30425 KachelY + 1 20181 -0.22463231 0.98941712 -12.870483 56.689425
    Unten rechts KachelX + 1 30426 KachelY + 1 20181 -0.22453644 0.98941712 -12.864990 56.689425
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98946977-0.98941712) × R
    5.26499999999874e-05 × 6371000     		dl = 335.43314999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98946977-0.98941712) × R
    5.26499999999874e-05 × 6371000     		dr = 335.43314999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22463231--0.22453644) × cos(0.98946977) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.549133069485061 × 6371000     		do = 335.403762944028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22463231--0.22453644) × cos(0.98941712) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.549177070167962 × 6371000     		du = 335.430638023016m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98946977)-sin(0.98941712))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.549133069485061-0.549177070167962)×R²
    abs(-0.22453644--0.22463231)×4.4000682901002e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.4000682901002e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.4000682901002e-05×40589641000000     		ar = 112510.048148516m²