Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30424 / 20499
↖ ↑ ↗
← N 55.717829°
W 12.875977°		 ← 344.07 m → N 55.717829°
W 12.870483°		 →
↑
344.03 m
↓
↑
344.03 m
↓
N 55.714735°
W 12.875977°		 ← 344.10 m →
118 378 m²		 N 55.714735°
W 12.870483°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464241027832031 y=0.312797546386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464241027832031 × 216)
    floor (0.464241027832031 × 65536)
    floor (30424.5)     		tx = 30424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312797546386719 × 216)
    floor (0.312797546386719 × 65536)
    floor (20499.5)     		ty = 20499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30424 / 20499 ti = "16/30424/20499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30424/20499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30424 ÷ 216
    30424 ÷ 65536     		x = 0.4642333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20499 ÷ 216
    20499 ÷ 65536     		y = 0.312789916992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4642333984375 × 2 - 1) × π
    -0.071533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22472819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312789916992188 × 2 - 1) × π
    0.374420166015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.17627564287694
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22472819} λ = -0.22472819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17627564287694))-π/2
    2×atan(3.24227629359736)-π/2
    2×1.27162794571244-π/2
    2.54325589142487-1.57079632675     		φ = 0.97245956
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22472819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.875977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97245956 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.717829°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30424 KachelY 20499 -0.22472819 0.97245956 -12.875977 55.717829
    Oben rechts KachelX + 1 30425 KachelY 20499 -0.22463231 0.97245956 -12.870483 55.717829
    Unten links KachelX 30424 KachelY + 1 20500 -0.22472819 0.97240556 -12.875977 55.714735
    Unten rechts KachelX + 1 30425 KachelY + 1 20500 -0.22463231 0.97240556 -12.870483 55.714735
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97245956-0.97240556) × R
    5.39999999999985e-05 × 6371000     		dl = 344.03399999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97245956-0.97240556) × R
    5.39999999999985e-05 × 6371000     		dr = 344.03399999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22472819--0.22463231) × cos(0.97245956) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.563268967430193 × 6371000     		do = 344.073682392779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22472819--0.22463231) × cos(0.97240556) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.563313585383596 × 6371000     		du = 344.100937335649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97245956)-sin(0.97240556))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563268967430193-0.563313585383596)×R²
    abs(-0.22463231--0.22472819)×4.46179534024926e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.46179534024926e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.46179534024926e-05×40589641000000     		ar = 118377.733590371m²