Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30424 / 16278
↖ ↑ ↗
← N 66.744240°
W 12.875977°		 ← 241.19 m → N 66.744240°
W 12.870483°		 →
↑
241.14 m
↓
↑
241.14 m
↓
N 66.742071°
W 12.875977°		 ← 241.21 m →
58 163 m²		 N 66.742071°
W 12.870483°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16278 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464241027832031 y=0.248390197753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464241027832031 × 216)
    floor (0.464241027832031 × 65536)
    floor (30424.5)     		tx = 30424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.248390197753906 × 216)
    floor (0.248390197753906 × 65536)
    floor (16278.5)     		ty = 16278
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30424 / 16278 ti = "16/30424/16278"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30424/16278.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30424 ÷ 216
    30424 ÷ 65536     		x = 0.4642333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16278 ÷ 216
    16278 ÷ 65536     		y = 0.248382568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4642333984375 × 2 - 1) × π
    -0.071533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22472819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.248382568359375 × 2 - 1) × π
    0.50323486328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.58095894946945
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22472819} λ = -0.22472819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58095894946945))-π/2
    2×atan(4.8596137015206)-π/2
    2×1.36785153470159-π/2
    2.73570306940317-1.57079632675     		φ = 1.16490674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22472819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.875977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16490674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.744240°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30424 KachelY 16278 -0.22472819 1.16490674 -12.875977 66.744240
    Oben rechts KachelX + 1 30425 KachelY 16278 -0.22463231 1.16490674 -12.870483 66.744240
    Unten links KachelX 30424 KachelY + 1 16279 -0.22472819 1.16486889 -12.875977 66.742071
    Unten rechts KachelX + 1 30425 KachelY + 1 16279 -0.22463231 1.16486889 -12.870483 66.742071
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16490674-1.16486889) × R
    3.78500000000059e-05 × 6371000     		dl = 241.142350000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16490674-1.16486889) × R
    3.78500000000059e-05 × 6371000     		dr = 241.142350000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22472819--0.22463231) × cos(1.16490674) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.394836225712366 × 6371000     		do = 241.186292833994m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22472819--0.22463231) × cos(1.16486889) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.394871000174551 × 6371000     		du = 241.207534865686m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16490674)-sin(1.16486889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394836225712366-0.394871000174551)×R²
    abs(-0.22463231--0.22472819)×3.47744621849722e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.47744621849722e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.47744621849722e-05×40589641000000     		ar = 58162.7906255249m²